Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 4 см², 6 см² и 12 см². Найдите площадь четвёртого треугольника. 1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?

Обозначим площади четырёх треугольников вокруг точки пересечения диагоналей по порядку через \(S_1, S_2, S_3, S_4\). У противоположных треугольников равные углы при вершине пересечения, а их стороны на каждой диагонали пропорциональны. Поэтому \(S_1S_3=S_2S_4\).

Четвёртая площадь зависит от того, какие два из данных значений приходятся на противоположные треугольники. Возможны три выбора пары:

1. Если противоположны площади 4 и 6, то оставшиеся 12 и искомая площадь противоположны: \(x=\frac{4\cdot6}{12}=2\) см².
2. Если противоположны площади 4 и 12, то \(x=\frac{4\cdot12}{6}=8\) см².
3. Если противоположны площади 6 и 12, то \(x=\frac{6\cdot12}{4}=18\) см².

Ответ: 3 варианта.