3) Диагонали ромба ABCD равны 16 см и 12 см. Вычислите: a) длины отрезков, на которые делит сторону ромба перпендикуляр, проведённый через точку пересечения диагоналей к стороне ромба; б) высоту ромба.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах ромба и прямоугольных треугольников.

1. a) Длины отрезков, на которые делит сторону ромба перпендикуляр, проведённый через точку пересечения диагоналей к стороне ромба.

   Пусть ромб ABCD, O — точка пересечения диагоналей, OE — перпендикуляр к стороне AB.

   Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и перпендикулярны. Значит, AO = OC = 16 см / 2 = 8 см, BO = OD = 12 см / 2 = 6 см.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. OE — высота, проведённая к гипотенузе AB.

   Сначала найдем сторону ромба AB по теореме Пифагора:

   $$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

   Площадь треугольника AOB можно найти двумя способами:

   1. \(\frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24 \text{ см}^2\)
   2. \(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot OE = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot OE\)

   Приравняем оба выражения для площади:

   $$\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot OE = 24$$
   $$OE = \frac{24 \cdot 2}{10} = 4,8 \text{ см}$$

   Пусть AE = x, тогда EB = 10 - x. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOE. По теореме Пифагора:

   $$AE^2 + OE^2 = AO^2$$
   $$x^2 + 4,8^2 = 8^2$$
   $$x^2 + 23,04 = 64$$
   $$x^2 = 64 - 23,04 = 40,96$$
   $$x = \sqrt{40,96} = 6,4 \text{ см}$$

   Тогда EB = 10 - 6,4 = 3,6 см.

   Ответ: AE = 6,4 см, EB = 3,6 см.

2. б) Высоту ромба.

   Площадь ромба равна произведению стороны на высоту. Также площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

   Площадь ромба ABCD равна:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96 \text{ см}^2$$

   Пусть h — высота ромба. Тогда:

   $$S = AB \cdot h$$
   $$96 = 10 \cdot h$$
   $$h = \frac{96}{10} = 9,6 \text{ см}$$

   Ответ: 9,6 см.