Диагонали ромба MNKL равны $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$ и $$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$. Чему равен наибольший угол ромба?

Решение:

Пусть диагонали ромба равны $$d_1$$ и $$d_2$$. По условию задачи $$d_1 = \frac{\sqrt{6}}{2}$$ и $$d_2 = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Рассмотрим один из четырёх получившихся прямоугольных треугольников. Катеты этого треугольника равны половинам диагоналей:

• $$a = \frac{d_1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$$
• $$b = \frac{d_2}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$$

Найдем сторону ромба $$c$$ по теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 = \left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{6}{16} + \frac{18}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} \]\[ c = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]

Найдем тангенсы половин углов ромба:

• $$\operatorname{tg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a}{b} = \frac{\sqrt{6}/4}{3\sqrt{2}/4} = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies \frac{\alpha}{2} = 30^{\circ} \implies \alpha = 60^{\circ}$$
• $$\operatorname{tg}(\frac{\beta}{2}) = \frac{b}{a} = \frac{3\sqrt{2}/4}{\sqrt{6}/4} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \implies \frac{\beta}{2} = 60^{\circ} \implies \beta = 120^{\circ}$$

Наибольший угол ромба равен $$120^{\circ}$$.

Ответ: 120