Диагонали ромба относятся как 3:4, а периметр равен 200 см. Найдите площадь ромба.

Пусть диагонали ромба равны 3x и 4x. Так как диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, то половинки диагоналей равны 1.5x и 2x. Сторона ромба равна a. Тогда, по теореме Пифагора:

$$a^2 = (1.5x)^2 + (2x)^2 = 2.25x^2 + 4x^2 = 6.25x^2$$

Следовательно, $$a = \sqrt{6.25x^2} = 2.5x$$

Периметр ромба равен 4a, то есть $$4a = 4(2.5x) = 10x$$

По условию, периметр равен 200 см, значит, $$10x = 200$$

Решаем уравнение: $$x = \frac{200}{10} = 20$$

Диагонали ромба равны:

$$d_1 = 3x = 3 \cdot 20 = 60 \text{ см}$$

$$d_2 = 4x = 4 \cdot 20 = 80 \text{ см}$$

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 80 = 30 \cdot 80 = 2400 \text{ см}^2$$

Ответ: 2400 см²