552. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AB и CD пересекаются в точке O. Найдите: а) AB, если OB = 4 см, OD=10 см, DC = 25 см; б) AO/OC и BO/OD, если AB=a, DC=b; в) AO, OC, если AB = 9,6 дм, DC = 24 см, AC = 15 см.

Решение: а) Так как ABCD - трапеция, то AB || CD. Следовательно, треугольники ΔAOB и ΔCOD подобны (по двум углам: ∠AOB = ∠COD как вертикальные, ∠OBA = ∠ODC как накрест лежащие). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \(\frac{AB}{DC} = \frac{OB}{OD}\) Подставим известные значения: \(\frac{AB}{25} = \frac{4}{10}\) \(AB = \frac{4 \cdot 25}{10} = 10 \text{ см}\) Ответ: AB = 10 см. б) Из подобия треугольников ΔAOB и ΔCOD следует: \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac{a}{b}\) Ответ: \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{a}{b}\). в) Так как \(\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{CD}\) (из подобия, пункт б), то \(\frac{AO}{OC} = \frac{9.6}{24} = \frac{2}{5}\). Пусть AO = 2x, тогда OC = 5x. Также известно, что AC = 15 см, и AC = AO + OC. Следовательно: 2x + 5x = 15 7x = 15 x = \(\frac{15}{7}\) \(\approx\) 2.14 Тогда AO = 2x = \(\frac{30}{7}\) \(\approx\) 4.29 см, OC = 5x = \(\frac{75}{7}\) \(\approx\) 10.71 см. Ответ: AO \(\approx\) 4.29 см, OC \(\approx\) 10.71 см.