Диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке О, $$S_{AOB}$$ = 24 м², АО: CO = 3 : 2. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Основания BC и AD трапеции параллельны, значит, высоты треугольников АВС и DBC, проведённые к их общему основанию ВС, равны. Поэтому $$S_{ABC} = S_{DBC}$$. Отсюда получаем: $$S_{COD} = S_{DBC} - S_{OBC} = S_{ABC} - S_{OBC} = S_{AOB} = 24$$ м².
2. Треугольники AOB и COB имеют общую высоту BH, значит, $$S_{AOB} : S_{COB} = AO : CO = 3 : 2$$. Отсюда получаем: $$24 : S_{COB} = 3 : 2$$. Следовательно, $$S_{COB} = 24 \cdot 2 : 3 = 16$$ (м²).
3. Треугольники AOD и COD имеют общую высоту DK, значит, $$S_{AOD} : S_{COD} = AO : CO = 3 : 2$$. Отсюда получаем: $$S_{AOD} : 24 = 3 : 2$$. Следовательно, $$S_{AOD} = 24 \cdot 3 : 2 = 36$$ (м²).

Площадь трапеции ABCD равна сумме площадей треугольников AOB, COB, AOD и COD:

$$S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{COB} + S_{AOD} + S_{COD} = 24 + 16 + 36 + 24 = 100 \text{ м}^2$$

Ответ:

Площадь трапеции ABCD равна 100 м².