92 Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке O, SAOB = 24 м², АО : CO = 3 : 2. Найдите площадь трапеции. Решение.

1) Основания ВС и AD трапеции параллельны, значит, высоты треугольников АВС и DBC, проведённые к их общему основанию ВС, равны. Поэтому $$\textrm{S}_{ABC} = \textrm{S}_{DBC}$$.

Отсюда получаем: $$ \textrm{S}_{COD} = \textrm{S}_{DBC} - \textrm{S}_{OBC} = \textrm{S}_{ABC} - \textrm{S}_{OBC} = \textrm{S}_{AOB} = 24 \textrm{ м}^2 $$.

2) Треугольники АОВ и COB имеют общую высоту. $$ \frac{\textrm{S}_{AOB}}{\textrm{S}_{COB}} = \frac{AO}{CO} = \frac{3}{2} $$.

Отсюда получаем: $$ \frac{24}{\textrm{S}_{COB}} = \frac{3}{2} $$. Следовательно, $$ \textrm{S}_{COB} = \frac{24 \cdot 2}{3} = 16 \textrm{ м}^2 $$.

3) Треугольники AOD и COD имеют общую высоту DK, значит, $$ \frac{\textrm{S}_{AOD}}{\textrm{S}_{COD}} = \frac{AO}{CO} = \frac{3}{2} $$.

Отсюда получаем: $$ \frac{\textrm{S}_{AOD}}{24} = \frac{3}{2} $$. Следовательно, $$ \textrm{S}_{AOD} = \frac{24 \cdot 3}{2} = 36 \textrm{ м}^2 $$.

Площадь трапеции ABCD равна сумме площадей треугольников AOB, COB, COD и AOD:

$$ \textrm{S}_{ABCD} = \textrm{S}_{AOB} + \textrm{S}_{COB} + \textrm{S}_{COD} + \textrm{S}_{AOD} = 24 + 16 + 24 + 36 = 100 \textrm{ м}^2 $$.

Ответ: 100 м²