6. Диагонали трапеции ABCD являются биссектрисами при большем основании. 1) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная. 2) Докажите, что \(\triangle AOD\) равнобедренный (O - точка пересечения диагоналей).

Question

Вопрос:

Фото задания

6. Диагонали трапеции ABCD являются биссектрисами при большем основании. 1) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная. 2) Докажите, что \(\triangle AOD\) равнобедренный (O - точка пересечения диагоналей).

Accepted Answer

Решение

Докажем, что трапеция ABCD равнобедренная.

Пусть данная трапеция ABCD, где BC || AD. Диагонали AC и BD являются биссектрисами углов при большем основании AD.

Так как AC - биссектриса угла BAD, то \(\angle BAC = \angle CAD\). Так как BC || AD, то \(\angle BCA = \angle CAD\) как накрест лежащие углы. Следовательно, \(\angle BAC = \angle BCA\), а значит, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, и AB = BC.

Аналогично, так как BD - биссектриса угла ADC, то \(\angle ADB = \angle CDB\). Так как BC || AD, то \(\angle CBD = \angle ADB\) как накрест лежащие углы. Следовательно, \(\angle CDB = \angle CBD\), а значит, треугольник BCD равнобедренный с основанием BD, и BC = CD.

Таким образом, AB = BC = CD, и трапеция ABCD, у которой боковые стороны равны, является равнобедренной.
Докажем, что \(\triangle AOD\) равнобедренный.

Так как AC и BD - биссектрисы углов при большем основании, то \(\angle OAD = \frac{1}{2} \angle BAD\) и \(\angle ODA = \frac{1}{2} \angle ADC\). Поскольку трапеция ABCD равнобедренная, \(\angle BAD = \angle ADC\). Следовательно, \(\angle OAD = \angle ODA\), а это значит, что треугольник AOD равнобедренный, и AO = OD.

Ответ:

Решение