Диагонали трапеции АВСD с основаниями АД и ВС пересекаются в точке О. 1. Докажите подобие треугольников АОД и СОВ. 2. Запишите пропорциональность сторон. 3. Найдите ВС, если AD=8 см, АО=6 см и ОС = 3 см.

1. Доказательство подобия треугольников АОД и СОВ.

Рассмотрим треугольники АОД и СОВ.

Угол АОД = углу СОВ (как вертикальные углы).

Угол ОАД = углу ОСВ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей АС).

Следовательно, треугольники АОД и СОВ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

2. Запишем пропорциональность сторон подобных треугольников АОД и СОВ:

$$\frac{AO}{OC} = \frac{OD}{OB} = \frac{AD}{BC}$$

3. Найдем ВС, если AD = 8 см, АО = 6 см и ОС = 3 см.

Из пропорции $$\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC}$$ следует:

$$\frac{6}{3} = \frac{8}{BC}$$

$$6 \cdot BC = 3 \cdot 8$$

$$6 \cdot BC = 24$$

$$BC = \frac{24}{6}$$

$$BC = 4$$ см

Ответ: 4 см.