4) Диагонали трапеции АВСД с основаниями АВ и СД пересекаются в точке О. Найдите АВ, если ОВ=4 см, ОД=10 см, ДС=25 см. 5) * Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.

4) Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD - основания. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Требуется найти длину основания AB, зная, что OB = 4 см, OD = 10 см, DC = 25 см.

Так как AB и CD - основания трапеции, то они параллельны (AB || CD). Рассмотрим треугольники AOB и COD. Углы ∠AOB и ∠COD равны как вертикальные. Углы ∠ABO и ∠CDO равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. Следовательно, треугольники AOB и COD подобны по двум углам (угол-угол).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{AB}{25} = \frac{4}{10}$$

Решим уравнение относительно AB:

$$AB = \frac{4 \times 25}{10} = \frac{100}{10} = 10 \text{ см}$$

5) Докажем, что два равносторонних треугольника подобны.

Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все три стороны равны, и все три угла равны 60 градусам.

Пусть дан треугольник ABC, где AB = BC = CA, и треугольник A'B'C', где A'B' = B'C' = C'A'.

Углы в обоих треугольниках равны 60 градусам: ∠A = ∠B = ∠C = 60° и ∠A' = ∠B' = ∠C' = 60°.

Для подобия треугольников достаточно равенства двух углов одного треугольника двум углам другого треугольника. В данном случае все углы равны, следовательно, треугольники ABC и A'B'C' подобны по трем углам.

Ответ: 4) 10 см; 5) Доказано, что два равносторонних треугольника подобны.