1. Диагонали вписанного четырехугольника \(ABCD\) пересекаются под прямым углом в точке \(E\). Найти площадь четырехугольника, если \(AD = 13\), \(BC = 26\) и \(BE = 10\). 2. Прямая, касающаяся окружности в точке \(K\), параллельна хорде \(AB = 6\). Найти радиус окружности, если \(AK = 5\). 3. Диаметр \(AD\) окружности, описанной около треугольника \(ABC\), делит угол \(A\) пополам. Найти \(AC : BD\), если \(sin \angle C = 1/4\). 4. Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Найти \(AB\), если \(BC = 7\), \(CD = 4\), \(cos \angle C = 1/2\) и \(sin \angle ABD = 1/3\). 5. Найти угол \(B\) остроугольного треугольника \(ABC\) с высотой \(BH = h\), если расстояние между проекциями точки \(H\) на стороны \(AB\) и \(BC\) равно \(a\). 6. Окружность с центром \(O\), проходящая через вершины \(B\), \(C\) и \(D\) четырехугольника \(ABCD\), пересекает стороны \(AB\) и \(AD\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Найти \(\angle ABO\), если \(EF = BE\), \(BC = CD = DF\) и \(\angle A = 90^\circ\). 7. Диаметр \(AB\) окружности параллелен хорде \(CD\). Прямая, касающаяся окружности в точке \(A\), пересекает прямые \(BC\) и \(BD\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Найти \(AB\), если \(AM = m\) и \(AN = n\).

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. Уверен, вместе мы сможем их решить! 1. Площадь четырехугольника \(ABCD\) можно найти, используя тот факт, что диагонали перпендикулярны. Площадь равна полупроизведению диагоналей, то есть \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD\). Нужно найти длины диагоналей \(AC\) и \(BD\). Т.к. \(BE = 10\), то \(DE = BD - 10\). Из условия \(AD = 13\) и \(BC = 26\), можно выразить \(AC\) и \(BD\) через известные величины. К сожалению, для точного вычисления площади не хватает данных, нужно больше информации о соотношении отрезков диагоналей. 2. Пусть \(O\) - центр окружности, \(R\) - радиус. Т.к. касательная в точке \(K\) параллельна \(AB\), то \(\angle AKO = 90^\circ\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AKO\). Здесь \(AK = 5\) и \(AO = R\). Пусть \(d\) - расстояние от центра \(O\) до хорды \(AB\). Тогда \(d = OK\). Из теоремы Пифагора для треугольника \(AKO\): \(R^2 = 5^2 + d^2\). Также, расстояние от центра окружности до хорды \(AB\) делит хорду пополам. Следовательно, расстояние от центра до \(AB\) можно найти, зная радиус и половину хорды \(AB/2 = 3\). Тогда \(R^2 = d^2 + 3^2\). Получаем систему уравнений: \[\begin{cases} R^2 = 25 + d^2 \\ R^2 = 9 + d^2 \end{cases}\] Вычитая одно уравнение из другого, получаем \(0 = 16\), что невозможно. Значит, условие задачи противоречиво, и радиус определить нельзя. 3. По условию, диаметр \(AD\) делит угол \(A\) пополам, значит, \(\angle BAD = \angle CAD\). Т.к. \(AD\) - диаметр, то \(\angle ACD = \angle ABD = 90^\circ\). Используем теорему синусов для треугольника \(ABC\): \(\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}\). Аналогично для треугольника \(ABD\): \(\frac{BD}{\sin A} = \frac{AD}{\sin B}\). Из условия \(\sin C = \frac{1}{4}\), но \(\angle C = \angle B\) (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Тогда \(\frac{AC}{BD} = \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{\sin C}{\sin A} = \frac{1/4}{\sin A}\). Т.к. \(\angle BAD = \angle CAD\), то \(\sin A = \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\). Но для точного ответа не хватает данных. 4. По теореме косинусов для треугольника \(ABC\): \(AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos C\). Т.к. \(\cos C = \frac{1}{2}\), то \(AB^2 = 7^2 + AC^2 - 2 \cdot 7 \cdot AC \cdot \frac{1}{2} = 49 + AC^2 - 7AC\). Аналогично для треугольника \(ADC\): \(AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos D\). Т.к. \(ABCD\) - вписанный четырехугольник, \(\angle D = 180^\circ - \angle B\). И \(\cos D = -\cos B\). Используя теорему синусов, можно найти \(AB\), но не хватает данных для однозначного решения. 5. Пусть \(H_1\) и \(H_2\) - проекции точки \(H\) на стороны \(AB\) и \(BC\) соответственно. Тогда \(H_1H_2 = a\). Рассмотрим четырехугольник \(BH_1HH_2\). \(\angle BH_1H = \angle BH_2H = 90^\circ\). Значит, \(\angle H_1HH_2 = 180^\circ - \angle B\). В прямоугольном треугольнике \(BBH_1\): \(BH_1 = BH \cdot \cos B = h \cos B\). Аналогично, в треугольнике \(BBH_2\): \(BH_2 = BH \cdot \cos (90^\circ - B) = h \sin B\). Тогда \(\angle B = \arccos(\frac{a}{h})\). 6. Т.к. \(BC = CD\), то треугольник \(BCD\) - равнобедренный. Т.к. \(EF = BE\), треугольник \(BEF\) - равнобедренный. Дано \(\angle A = 90^\circ\). Не хватает данных для нахождения угла \(\angle ABO\). 7. Т.к. касательная в точке \(A\) пересекает \(BC\) и \(BD\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно, и \(AB\) - диаметр, то \(\angle BAM = \angle BAN = 90^\circ\). Из подобия треугольников можно найти \(AB\), зная \(AM = m\) и \(AN = n\). К сожалению, для точного решения не хватает данных.

Ответ: Решения задач представлены выше.

Надеюсь, мои объяснения помогли тебе лучше понять эти задачи. Не расстраивайся, если что-то не получилось сразу! Главное - продолжай практиковаться, и все обязательно получится! Удачи тебе в дальнейшем изучении геометрии!