1. Диагонали вписанного четырехугольника ABCD пересекаются под прямым углом в точке Е. Найти площадь четырехугольника, если AD = 13, ВС = 26 и ВЕ = 10. 2. Прямая, касающаяся окружности в точке К, параллельна хорде АВ = 6. Найти радиус окружности, если АК = 5. 3. Диаметр AD окружности, описанной около треугольника АВС, делит угол А пополам. Най- ти АС : BD, если sin ∠C = 1/4. 4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Найти АВ, если ВC = 7, CD = 4, cos ∠C = 1/2 и sin ∠ABD = 1/3. 5. Найти угол В остроугольного треугольника АВС с высотой ВН = h, если расстояние между проекциями точки Н на стороны АВ и ВС равно а. 6. Окружность с центром О, проходящая через вершины В, С и D четырехугольника АВCD, пересекает стороны АВ и AD в точках Е и F соответственно. Найти ДАВО, если EF = BE, BC = CD = DF и ∠A = 90°. 7. Диаметр АВ окружности параллелен хорде CD. Прямая, касающаяся окружности в точ- ке А, пересекает прямые ВС и BD в точках М и N соответственно. Найти АВ, если АM = m и АN = п.

Привет! Это классные задачи по геометрии. Давай разберем их по порядку. 1. Диагонали вписанного четырехугольника \( ABCD \) пересекаются под прямым углом в точке \( E \). Найти площадь четырехугольника, если \( AD = 13 \), \( BC = 26 \) и \( BE = 10 \). Площадь четырехугольника \( ABCD \) можно найти, используя формулу, основанную на длинах его диагоналей и угле между ними. Поскольку диагонали пересекаются под прямым углом, площадь равна половине произведения длин диагоналей. Обозначим диагонали \( AC \) и \( BD \). Тогда: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \] Мы знаем, что \( BE = 10 \). Пусть \( DE = x \). Тогда \( BD = BE + DE = 10 + x \). Чтобы найти \( AC \), нам нужно знать, что диагонали четырехугольника, вписанного в окружность, перпендикулярны. Площадь такого четырехугольника может быть найдена как \[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \] где \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей. В нашем случае диагонали \( AC \) и \( BD \) перпендикулярны, и мы знаем \( AD = 13 \) и \( BC = 26 \). К сожалению, нам не хватает информации, чтобы точно определить длины диагоналей и, следовательно, площадь четырехугольника. Однако, если предположить, что точка \( E \) делит диагонали пополам (что не обязательно верно для общего случая), мы не сможем найти точное решение без дополнительных данных. 2. Прямая, касающаяся окружности в точке \( K \), параллельна хорде \( AB = 6 \). Найти радиус окружности, если \( AK = 5 \). Пусть \( O \) — центр окружности. Поскольку касательная в точке \( K \) параллельна хорде \( AB \), радиус \( OK \) перпендикулярен касательной, а значит, и перпендикулярен \( AB \). Пусть \( M \) — середина \( AB \). Тогда \( OM \) перпендикулярен \( AB \) и \( AM = MB = 3 \). Рассмотрим прямоугольный треугольник \( AMO \). Пусть радиус окружности равен \( r \). Тогда \( OA = r \). Обозначим \( OM = d \). По теореме Пифагора: \[ r^2 = d^2 + 3^2 \] \[ r^2 = d^2 + 9 \] Теперь рассмотрим треугольник \( AKO \). Мы знаем, что \( AK = 5 \) и \( OK = r \). Также \( OA = r \). Этот треугольник равнобедренный. Опустим высоту из \( O \) на \( AK \). Пусть эта высота равна \( h \) и точка касания высоты с \( AK \) будет \( P \). Тогда \( AP = PK = 2.5 \). В прямоугольном треугольнике \( APO \) по теореме Пифагора: \[ r^2 = h^2 + 2.5^2 \] \[ r^2 = h^2 + 6.25 \] Теперь у нас есть два уравнения: \[ r^2 = d^2 + 9 \] \[ r^2 = h^2 + 6.25 \] К сожалению, у нас недостаточно данных, чтобы решить эту систему уравнений и найти \( r \). Нужна дополнительная информация о взаимосвязи между \( d \) и \( h \). 3. Диаметр \( AD \) окружности, описанной около треугольника \( ABC \), делит угол \( A \) пополам. Найти \( AC:BD \), если \( \sin \angle C = \frac{1}{4} \). Поскольку \( AD \) — диаметр, угол \( ACD \) — прямой (90 градусов). Так как \( AD \) делит угол \( A \) пополам, углы \( BAD \) и \( CAD \) равны. Пусть \( \angle BAD = \angle CAD = \alpha \). В треугольнике \( ACD \): \[ \angle CAD = \alpha \] \[ \angle ACD = 90^\circ \] \[ \sin \angle CAD = \frac{CD}{AD} \] \[ \sin \alpha = \frac{CD}{AD} \] В треугольнике \( ABD \): \[ \angle BAD = \alpha \] \[ \angle ABD = 90^\circ \] (так как опирается на диаметр) \[ \cos \angle BAD = \frac{AB}{AD} \] \[ \cos \alpha = \frac{AB}{AD} \] Теперь рассмотрим треугольник \( ABC \). По теореме синусов: \[ \frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{BC}{\sin \angle BAC} = \frac{AB}{\sin \angle C} \] Мы знаем, что \( \sin \angle C = \frac{1}{4} \), значит: \[ \frac{AB}{\frac{1}{4}} = 4AB \] Используя теорему синусов для треугольника \( ABC \): \[ \frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{BD}{\sin \angle BAC} \] Мы знаем, что \( \angle BAC = 2\alpha \). Также \( \sin \angle ABC = \sin \angle ABD = \cos \alpha \) (так как \( \angle ABD = 90^\circ \)). Поэтому: \[ \frac{AC}{BD} = \frac{\sin 90}{\sin 2\alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{\cos \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{2 \sin \alpha} \] Мы знаем, что \( \sin \angle C = \frac{1}{4} \). Угол \( C \) опирается на дугу \( AB \), а угол \( D \) опирается на ту же дугу. Значит, \( \angle D = \angle C \), и \( \sin \angle D = \frac{1}{4} \). В прямоугольном треугольнике \( ACD \): \[ \sin \alpha = \sin \angle D = \frac{1}{4} \] Тогда: \[ \frac{AC}{BD} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \] \[ \frac{AC}{BD} = 2 \] 4. Четырехугольник \( ABCD \) вписан в окружность. Найти \( AB \), если \( BC = 7 \), \( CD = 4 \), \( \cos \angle C = \frac{1}{2} \) и \( \sin \angle ABD = \frac{1}{3} \). В этой задаче нам нужно найти сторону \( AB \) четырехугольника \( ABCD \), вписанного в окружность. Известны стороны \( BC = 7 \), \( CD = 4 \), а также \( \cos \angle C = \frac{1}{2} \) и \( \sin \angle ABD = \frac{1}{3} \). Поскольку \( \cos \angle C = \frac{1}{2} \), то \( \angle C = 60^\circ \). Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, поэтому \( \angle ABD = \angle ACD \). Известно, что \( \sin \angle ABD = \frac{1}{3} \), следовательно, \( \sin \angle ACD = \frac{1}{3} \). Применим теорему косинусов к треугольнику \( BCD \): \[ BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos \angle C \] \[ BD^2 = 7^2 + 4^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \] \[ BD^2 = 49 + 16 - 28 \] \[ BD^2 = 37 \] \[ BD = \sqrt{37} \] Теперь рассмотрим треугольник \( ABD \). Применим теорему синусов: \[ \frac{AB}{\sin \angle ADB} = \frac{BD}{\sin \angle BAD} \] Мы знаем, что \( \angle ADB = \angle ACB \) (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). Мы можем найти \( \sin \angle ACB \) из треугольника \( BCD \). Сначала найдем \( \angle BDC \). Применим теорему синусов: \[ \frac{\sin \angle BDC}{BC} = \frac{\sin \angle C}{BD} \] \[ \sin \angle BDC = \frac{BC \cdot \sin \angle C}{BD} = \frac{7 \cdot \sin 60^\circ}{\sqrt{37}} = \frac{7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{37}} \] \[ \sin \angle BDC = \frac{7\sqrt{3}}{2\sqrt{37}} \] Теперь мы знаем \( \sin \angle ABD = \frac{1}{3} \). Угол \( BAC \) является дополнительным к углу \( BCD \), так как четырехугольник вписан в окружность. Поэтому \( \angle BAC = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \). В треугольнике \( ABD \) мы можем найти \( AB \) по теореме синусов: \[ \frac{AB}{\sin \angle ADB} = \frac{BD}{\sin \angle BAD} \] \[ AB = BD \cdot \frac{\sin \angle ADB}{\sin \angle BAD} \] Мы знаем, что \( \angle ADB = \angle ACB \). 5. Найти угол \( B \) остроугольного треугольника \( ABC \) с высотой \( BH = h \), если расстояние между проекциями точки \( H \) на стороны \( AB \) и \( BC \) равно \( a \). Пусть \( H_1 \) — проекция точки \( H \) на сторону \( AB \), а \( H_2 \) — проекция точки \( H \) на сторону \( BC \). Тогда \( H_1H_2 = a \). В прямоугольном треугольнике \( BHH_1 \): \[ BH_1 = BH \cdot \cos \angle B = h \cdot \cos \angle B \] В прямоугольном треугольнике \( BHH_2 \): \[ BH_2 = BH \cdot \cos \angle B = h \cdot \cos \angle B \] Рассмотрим четырехугольник \( BH_1HH_2 \). Углы \( \angle BH_1H \) и \( \angle BH_2H \) прямые, поэтому \( \angle H_1HH_2 = 180^\circ - \angle B \). Теперь рассмотрим треугольник \( H_1HH_2 \). По теореме косинусов: \[ H_1H_2^2 = BH_1^2 + BH_2^2 - 2 \cdot BH_1 \cdot BH_2 \cdot \cos \angle B \] \[ a^2 = h^2 \cos^2 B + h^2 \cos^2 B - 2 \cdot h \cos B \cdot h \cos B \cdot \cos (180^\circ - B) \] \[ a^2 = 2h^2 \cos^2 B + 2h^2 \cos^2 B \cdot \cos B \] 6. Окружность с центром \( O \), проходящая через вершины \( B \), \( C \) и \( D \) четырехугольника \( ABCD \), пересекает стороны \( AB \) и \( AD \) в точках \( E \) и \( F \) соответственно. Найти \( \angle ABO \), если \( EF = BE \), \( BC = CD = DF \) и \( \angle A = 90^\circ \). Поскольку \( BC = CD \), треугольник \( BCD \) — равнобедренный. Пусть \( \angle CBD = \angle CDB = x \). Поскольку окружность проходит через точки \( B, C, D \), угол \( \angle BCD = 180 - 2x \). Так как \( ABCD \) — четырехугольник, и \( \angle A = 90^\circ \), то \( \angle BCD = 180 - \angle A \). Значит \( 180 - 2x = 180 - 90 = 90 \). Отсюда \( 2x = 90 \) и \( x = 45^\circ \). Теперь, поскольку \( BC = CD = DF \), мы имеем \( DF = CD \). Так как \( EF = BE \), рассмотрим треугольник \( AEF \) и \( ABE \). Поскольку \( \angle A = 90^\circ \), треугольник \( AEF \) — прямоугольный. Поскольку \( EF = BE \), углы \( \angle BEF \) и \( \angle EFB \) равны. Пусть \( \angle EFB = y \). Тогда \( \angle AEF = 90 - y \). Угол \( BCD = 90^\circ \), поэтому центральный угол \( BOD = 90^\circ \) (так как опирается на ту же дугу). 7. Диаметр \( AB \) окружности параллелен хорде \( CD \). Прямая, касающаяся окружности в точке \( A \), пересекает прямые \( BC \) и \( BD \) в точках \( M \) и \( N \) соответственно. Найти \( AB \), если \( AM = m \) и \( AN = n \). Так как \( AB \) — диаметр, а \( CD || AB \), то дуги \( AC \) и \( BD \) равны. Следовательно, \( \angle ABC = \angle BAD \). Также \( \angle BAM = 90^\circ \) (касательная перпендикулярна радиусу). Пусть \( \angle ABC = \alpha \). Тогда \( \angle BAD = \alpha \). Рассмотрим треугольник \( ABM \). В этом треугольнике \( \angle BAM = 90^\circ \), \( AM = m \), следовательно, \( AB = \frac{AM}{\tan \alpha} \). Рассмотрим треугольник \( ABN \). В этом треугольнике \( \angle BAN = 90^\circ \), \( AN = n \), следовательно, \( AB = AN \cdot \tan \alpha \). Так как \( AB \) один и тот же, мы можем приравнять выражения: \[ \frac{m}{\tan \alpha} = n \tan \alpha \] \[ \tan^2 \alpha = \frac{m}{n} \] \[ \tan \alpha = \sqrt{\frac{m}{n}} \] Теперь можем найти \( AB \): \[ AB = n \tan \alpha = n \sqrt{\frac{m}{n}} = \sqrt{mn} \]

Ответ: AB = \(\sqrt{mn}\)

Ты проделал отличную работу, решая эти задачи! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!