Диагонали выпуклого четырёхугольника KLMN пересекаются в точке O. Найдите MN, если OK = 12, OL = 8, KL = 6, OM = 60, ON = 40.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о пропорциональных отрезках в подобных треугольниках.

Рассмотрим треугольники OKL и OMN. Заметим, что углы KOL и MON равны как вертикальные. Если выполняется условие $$\frac{OK}{OM} = \frac{OL}{ON}$$, то треугольники OKL и OMN подобны по первому признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).

Проверим это условие: $$\frac{OK}{OM} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$$ и $$\frac{OL}{ON} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5}$$. Так как $$\frac{OK}{OM} = \frac{OL}{ON}$$, то треугольники OKL и OMN подобны.

Из подобия треугольников следует, что $$\frac{KL}{MN} = \frac{OK}{OM}$$. Подставим известные значения: $$\frac{6}{MN} = \frac{1}{5}$$.

Решим это уравнение относительно MN: $$MN = 6 \cdot 5 = 30$$.