667 Диаметр \(AA_1\) окружности перпендикулярен к хорде \(BB_1\) и пересекает её в точке C. Найдите \(BB_1\), если \(AC = 4\) см, \(CA_1 = 8\) см.

Поскольку диаметр \(AA_1\) перпендикулярен хорде \(BB_1\), он делит её пополам. Значит, \(BC = CB_1\). Также, поскольку \(AA_1\) - диаметр, угол \(ABA_1\) прямой (вписанный угол, опирающийся на диаметр). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABA_1\). В этом треугольнике \(BC\) является высотой, проведенной из прямого угла к гипотенузе \(AA_1\). По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые эта высота делит гипотенузу. То есть: \[BC^2 = AC \cdot CA_1\] Подставляем значения: \[BC^2 = 4 \cdot 8 = 32\] \[BC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\] Так как \(BB_1 = 2 \cdot BC\), то: \[BB_1 = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\] Ответ: \(BB_1 = 8\sqrt{2}\) см