Диаметр окружности с центром С равен 6 см. Найдите расстояние от точки С до хорды АВ, если ∠ACB = 120°. Решение. Проведём перпендикуляр СН к прямой . Его длина равна искомому C ды Треугольник АСВ тельно, ∠CAH = ∠ = 0,5( от точки С до хор- A H B (CA = LACB) = радиусы окружности), следова- В прямоугольном треугольнике АСН гипотенуза АС = значит, катет СН = 0,5 = CM, ∠CAH = Ответ.

Решение:

Диаметр окружности равен 6 см, значит, радиус \( R = \frac{6}{2} = 3 \) см. Следовательно, \( AC = CB = 3 \) см.

В равнобедренном треугольнике АСВ (так как \( AC = CB \) — радиусы окружности), проведём высоту СН к основанию АВ. Высота в равнобедренном треугольнике также является медианой и биссектрисой.

Следовательно, \( AH = HB \) и \( \angle ACH = \angle BCH = \frac{1}{2} \angle ACB \).

Так как \( \angle ACB = 120^{\circ} \), то \( \angle ACH = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике АСН:

\( \angle CAH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Расстояние от точки С до хорды АВ — это длина отрезка СН.

В прямоугольном треугольнике АСН:

\( CH = AC \cdot \cos(\angle ACH) \) или \( CH = AC \cdot \sin(\angle CAH) \).

Используем \( \sin(\angle CAH) \):

\( CH = 3 \cdot \sin(30^{\circ}) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5 \) см.

Проверка через \( \cos(\angle ACH) \):

\( CH = 3 \cdot \cos(60^{\circ}) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5 \) см.

Катет СН = 0,5. Данное условие в задании не соответствует расчетам.

Ответ: 1.5 см.