Диаметр РЕ окружности пересекает хорду МК в точке А, являющейся серединой этой хорды, АМ = 3 см, ДРКА = 60°. Найдите длину хорды РК.

Дано:

• Окружность с диаметром РЕ.
• Хорда МК пересекает РЕ в точке А.
• А – середина хорды МК.
• АМ = 3 см.
• ∠РКА = 60°.

Найти:

• РК

Решение:

1. По условию, точка А является серединой хорды МК. Это означает, что АМ = АК.
2. Так как АМ = 3 см, то и АК = 3 см.
3. Длина хорды МК равна сумме длин отрезков АМ и АК: МК = АМ + АК = 3 см + 3 см = 6 см.
4. Диаметр РЕ пересекает хорду МК в точке А. Так как А является серединой хорды МК, то диаметр РЕ перпендикулярен хорде МК. Следовательно, ∠РАК = 90°.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник РАК. Мы знаем, что ∠РКА = 60° и ∠РАК = 90°.
6. В прямоугольном треугольнике, сумма углов равна 180°. Следовательно, ∠АРК = 180° - 90° - 60° = 30°.
7. Используем тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике РАК:
• $$\rac{АК}{РК} = \ ext{cos}(\ ext{30}^ ext{о}) $$
• $$\rac{АК}{РК} = \rac{\\ ext{sqrt(3)}}{2} $$
• $$\ ext{РК} = \rac{2 imes АК}{\\\text{sqrt(3)}} $$
• $$\ ext{РК} = \rac{2 imes 3}{\\\text{sqrt(3)}} = \rac{6}{\\\text{sqrt(3)}} $$
• $$\ ext{РК} = \rac{6 imes \ imes\ ext{sqrt(3)}}{3} = 2 imes \ imes\ ext{sqrt(3)} $$

Ответ: 2√3 см