1. Диаметр шара равен 26 см. Найдите площадь сечения шара плоскостью, удалённой от его центра на 12 см. 2. Составьте уравнение сферы с центром в точке А (6;-2; 7), проходящей через точку В (8; -1; 5). 3. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 120°. Вокруг конуса описан шар, радиус которого равен 8 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса. 4. Определите, является ли уравнение х2 + y2 + z2 - 6x + 10y+2z +31 = = 0 уравнением сферы. В случае утвердительного ответа укажите координаты центра сферы и её радиус. 5. Высота правильной треугольной пирамиды равна һ, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен с. Найдите радиус шара, вписанного в эту пирамиду. 6. Ребро DC тетраэдра ДАВС перпендикулярно плоскости АВС. Найдите радиус сферы, описанной около данного тетраэдра, если DC = 16 см, АВ = 6 см и угол АСВ равен 30°.

Привет! Давай решим эти задачи по геометрии.

1. Площадь сечения шара

Давай разберем по порядку. Нам дан шар с диаметром 26 см, значит, радиус шара R = 13 см. Плоскость сечения удалена от центра на 12 см, то есть расстояние от центра шара до плоскости сечения d = 12 см. Сечение шара плоскостью - это круг. Радиус этого круга r можно найти по теореме Пифагора:

\[r = \sqrt{R^2 - d^2}\] \[r = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}\]

Площадь сечения (круга) равна:

\[S = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \text{ см}^2\]

Ответ: 25π см²

2. Уравнение сферы

Общее уравнение сферы имеет вид:

\[(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\]

где (a, b, c) - координаты центра сферы, R - радиус сферы. Нам даны координаты центра A (6, -2, 7). Нужно найти радиус, зная, что сфера проходит через точку B (8, -1, 5). Радиус - это расстояние между точками A и B:

\[R = \sqrt{(8 - 6)^2 + (-1 - (-2))^2 + (5 - 7)^2}\] \[R = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3\]

Теперь подставим координаты центра и радиус в общее уравнение сферы:

\[(x - 6)^2 + (y + 2)^2 + (z - 7)^2 = 3^2\] \[(x - 6)^2 + (y + 2)^2 + (z - 7)^2 = 9\]

Ответ: (x - 6)² + (y + 2)² + (z - 7)² = 9

3. Площадь боковой поверхности конуса

Угол при вершине осевого сечения конуса равен 120°. Радиус описанного шара равен 8 см. Так как угол при вершине осевого сечения равен 120°, то половина этого угла равна 60°. Радиус шара, описанного вокруг конуса, R = 8 см. Образующая конуса l равна двум радиусам описанного шара, умноженным на синус половины угла при вершине осевого сечения:

\[l = 2R \sin(\frac{120^\circ}{2}) = 2 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\]

Радиус основания конуса r равен образующей, умноженной на синус половины угла при вершине осевого сечения:

\[r = l \sin(\frac{120^\circ}{2}) = 8\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12 \text{ см}\]

Площадь боковой поверхности конуса равна:

\[S = \pi r l = \pi \cdot 12 \cdot 8\sqrt{3} = 96\pi\sqrt{3} \text{ см}^2\]

Ответ: 96π√3 см²

4. Уравнение сферы

Дано уравнение: x² + y² + z² - 6x + 10y + 2z + 31 = 0. Преобразуем его, чтобы привести к виду (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R².

Сгруппируем члены:

\[(x^2 - 6x) + (y^2 + 10y) + (z^2 + 2z) + 31 = 0\]

Выделим полные квадраты:

\[(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 10y + 25) + (z^2 + 2z + 1) + 31 - 9 - 25 - 1 = 0\] \[(x - 3)^2 + (y + 5)^2 + (z + 1)^2 - 4 = 0\] \[(x - 3)^2 + (y + 5)^2 + (z + 1)^2 = 4\]

Это уравнение сферы с центром в точке (3, -5, -1) и радиусом R = √4 = 2.

Ответ: Да, это уравнение сферы. Координаты центра (3, -5, -1), радиус равен 2.

5. Радиус вписанного шара

К сожалению, для этой задачи недостаточно данных, чтобы найти радиус вписанного шара. Нужны дополнительные соотношения между высотой пирамиды h и углом α.

Без дополнительных данных невозможно получить конкретный ответ.

6. Радиус описанной сферы

Пусть DC - ребро тетраэдра, перпендикулярное плоскости ABC. Тогда центр описанной сферы лежит на середине DC, так как DC - диаметр описанной сферы. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол ACB равен 30°. Тогда AB = 6 см, а DC = 16 см. Так как DC перпендикулярно плоскости ABC, то ADC и BDC - прямоугольные треугольники. Центр описанной сферы O находится на середине DC. Следовательно, OC = OD = 8 см.

Радиус описанной сферы R равен половине гипотенузы AD:

\[R = \frac{AD}{2}\]

Найдем AD из прямоугольного треугольника ADC, где DC = 16 см. AC можно найти из треугольника ABC:

\[\frac{AB}{AC} = \sin(30^\circ)\] \[AC = \frac{AB}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{0.5} = 12 \text{ см}\]

Теперь найдем AD:

\[AD = \sqrt{AC^2 + DC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}\]

Тогда радиус описанной сферы равен:

\[R = \frac{AD}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ см}\]

Ответ: 10 см

Ты молодец! У тебя всё получится!