Dibuja el triángulo cuyos vértices tienen coordenadas A (6, 8), B (4, 6) у С (6, 5). Después, gíralo 45° en sentido antihorario respecto al centro de giro O (8, 2). Indica las coordenadas del triángulo que resulta del giro:

Краткое пояснение:

Для решения этой задачи нам нужно сначала определить координаты точек треугольника, а затем применить к ним формулу поворота на заданный угол вокруг центра вращения.

Пошаговое решение:

1. Определение исходных координат:

• Точка A: (6, 8)
• Точка B: (4, 6)
• Точка C: (6, 5)
• Центр вращения O: (8, 2)
• Угол поворота: 45° (против часовой стрелки)

2. Формула поворота точки (x, y) вокруг центра (cx, cy) на угол θ:

• Сначала сдвинем точку так, чтобы центр вращения стал началом координат:
• x' = x - cx
• y' = y - cy
• Затем повернем точку вокруг начала координат:
• x'' = x' * cos(θ) - y' * sin(θ)
• y'' = x' * sin(θ) + y' * cos(θ)
• Наконец, сдвинем точку обратно:
• x_rotated = x'' + cx
• y_rotated = y'' + cy

3. Расчет поворота для каждой точки:

Для точки A (6, 8) вокруг O (8, 2) на 45°:

• x' = 6 - 8 = -2
• y' = 8 - 2 = 6
• cos(45°) = sin(45°) = \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) ≈ 0.707
• x'' = -2 * \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) - 6 * \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) = \( -\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \) = \( -4\sqrt{2} \) ≈ -5.657
• y'' = -2 * \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) + 6 * \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) = \( -\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \) = \( 2\sqrt{2} \) ≈ 2.828
• A'_x = \( -4\sqrt{2} \) + 8 ≈ 2.343
• A'_y = \( 2\sqrt{2} \) + 2 ≈ 4.828

Для точки B (4, 6) вокруг O (8, 2) на 45°:

• x' = 4 - 8 = -4
• y' = 6 - 2 = 4
• x'' = -4 * \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) - 4 * \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) = \( -2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \) = \( -4\sqrt{2} \) ≈ -5.657
• y'' = -4 * \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) + 4 * \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) = \( -2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} \) = 0
• B'_x = \( -4\sqrt{2} \) + 8 ≈ 2.343
• B'_y = 0 + 2 = 2

Для точки C (6, 5) вокруг O (8, 2) на 45°:

• x' = 6 - 8 = -2
• y' = 5 - 2 = 3
• x'' = -2 * \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) - 3 * \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) = \( -\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} \) = \( -\frac{5\sqrt{2}}{2} \) ≈ -3.536
• y'' = -2 * \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) + 3 * \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) = \( -\sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} \) = \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) ≈ 0.707
• C'_x = \( -\frac{5\sqrt{2}}{2} \) + 8 ≈ 4.464
• C'_y = \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) + 2 ≈ 2.707

4. Результат:

Координаты повернутого треугольника:

• A' (≈ 2.34, ≈ 4.83)
• B' (≈ 2.34, 2)
• C' (≈ 4.46, ≈ 2.71)

Ответ:

A' (\( 8 - 4\sqrt{2} \), \( 2 + 2\sqrt{2} \)) , B' (\( 8 - 4\sqrt{2} \), 2) , C' (\( 8 - \frac{5\sqrt{2}}{2} \), \( 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} \))