Дифференциал функции. Его приложения; Свойства функции y=cos(x) и ее график; Найдите производную функции f x = sinx + 11cosx.

Решение:

Найдём производную функции \( f(x) = \sin x + 11 \cos x \).

Используем правила дифференцирования:

• Производная от \( \sin x \) равна \( \cos x \).
• Производная от \( \cos x \) равна \( -\sin x \).
• Производная от константы, умноженной на функцию, равна константе, умноженной на производную функции.

Таким образом:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x + 11 \cos x) = \frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}(11 \cos x) \]\[ f'(x) = \cos x + 11 \cdot (-\sin x) \]\[ f'(x) = \cos x - 11 \sin x \]

Свойства функции \( y = \cos x \)

Функция \( y = \cos x \) обладает следующими свойствами:

• Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \) — все действительные числа.
• Область значений: \( E(y) = [-1; 1] \).
• Периодичность: функция периодическая с наименьшим периодом \( T = 2\pi \), то есть \( \cos(x + 2\pi k) = \cos x \) для любого целого \( k \).
• Чётность: функция является чётной, так как \( \cos(-x) = \cos x \). График симметричен относительно оси \( Oy \).
• Нули функции: \( \cos x = 0 \) при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — целое число.
• Возрастание и убывание:
• Возрастает на отрезках \( [-\pi + 2\pi k; 0 + 2\pi k] \).
• Убывает на отрезках \( [0 + 2\pi k; \pi + 2\pi k] \).
• Наибольшее и наименьшее значения:
• Наибольшее значение \( y = 1 \) достигается при \( x = 2\pi k \).
• Наименьшее значение \( y = -1 \) достигается при \( x = \pi + 2\pi k \).

График функции \( y = \cos x \)

График функции \( y = \cos x \) — это косинусоида.

Дифференциал функции

Дифференциал функции — это линейная часть приращения функции. Если \( y = f(x) \), то дифференциал \( dy \) находится по формуле \( dy = f'(x) dx \), где \( dx \) — дифференциал независимой переменной.

Приложения дифференциала

Дифференциал используется для:

• Приближённых вычислений значений функций.
• Определения скорости изменения функции (например, в физике).
• Анализа поведения функции (возрастание, убывание, экстремумы).
• Построения касательных к кривым.

Ответ: Производная функции \( f(x) = \sin x + 11 \cos x \) равна \( f'(x) = \cos x - 11 \sin x \).