Дифференциальное уравнение

Рассмотрим дифференциальное уравнение: $$\frac{xdx + (2x+y)dy}{(x+y)^2} = 0$$ Чтобы определить, какое из предложенных решений является верным, а также классифицировать уравнение, выполним анализ. 1. **Проверка на уравнение в полных дифференциалах:** Уравнение вида $$P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$$ является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие: $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$$ В нашем случае: $$P(x,y) = \frac{x}{(x+y)^2}, \quad Q(x,y) = \frac{2x+y}{(x+y)^2}$$ Найдем частные производные: $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{(x+y)^2} \right) = -\frac{2x}{(x+y)^3}$$ $$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{2x+y}{(x+y)^2} \right) = \frac{2(x+y)^2 - 2(x+y)(2x+y)}{(x+y)^4} = \frac{2(x+y) - 2(2x+y)}{(x+y)^3} = \frac{2x+2y-4x-2y}{(x+y)^3} = \frac{-2x}{(x+y)^3}$$ Так как $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$$, то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. 2. **Решение уравнения в полных дифференциалах:** Найдём функцию $$u(x,y)$$ такую, что: $$\frac{\partial u}{\partial x} = P(x,y) = \frac{x}{(x+y)^2}$$ $$\frac{\partial u}{\partial y} = Q(x,y) = \frac{2x+y}{(x+y)^2}$$ Интегрируем первое уравнение по $$x$$: $$u(x,y) = \int \frac{x}{(x+y)^2} dx$$ Чтобы взять этот интеграл, выполним замену $$t = x+y$$, тогда $$x = t-y$$ и $$dx = dt$$: $$u(x,y) = \int \frac{t-y}{t^2} dt = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{y}{t^2} \right) dt = \ln|t| + \frac{y}{t} + C(y) = \ln|x+y| + \frac{y}{x+y} + C(y)$$ Теперь найдем частную производную $$u(x,y)$$ по $$y$$: $$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{x+y} + \frac{(x+y) - y}{(x+y)^2} + C'(y) = \frac{1}{x+y} + \frac{x}{(x+y)^2} + C'(y) = \frac{x+y+x}{(x+y)^2} + C'(y) = \frac{2x+y}{(x+y)^2} + C'(y)$$ Сравнивая с $$Q(x,y)$$, получаем: $$\frac{2x+y}{(x+y)^2} + C'(y) = \frac{2x+y}{(x+y)^2}$$ Следовательно, $$C'(y) = 0$$, значит, $$C(y) = C = const$$. Таким образом, решение уравнения имеет вид: $$\ln|x+y| + \frac{y}{x+y} = C$$ $$\ln(x+y) - \frac{-y}{x+y} = C$$ $$\ln(x+y) - \frac{-y}{x+y} = \ln(x+y) + \frac{y}{x+y} = C$$ $$\ln(x+y) - \frac{-y}{x+y} = \ln(x+y) + \frac{y}{x+y} = C$$ $$\ln(x+y) - \frac{-y}{x+y} = \ln(x+y) + \frac{y}{x+y} = C$$ Поменяем знак у дроби: $$\ln(x+y) + \frac{y}{x+y} = C$$ Тогда $$ \ln(x+y) - \frac{-y}{x+y} = C $$. Рассмотрим вариант, когда из уравнения вычли $$\frac{x+y}{x+y}$$: $$\ln(x+y) + \frac{y-(x+y)}{x+y} + \frac{x+y}{x+y} = C$$ $$\ln(x+y) - \frac{x}{x+y} = C$$ **Ответ:** Уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и его решение имеет вид: $$\ln(x+y) - \frac{x}{x+y} = C$$