Дифференциальное уравнение $$\frac{dx}{dt} - \frac{3x}{t^2} = \frac{5+t}{t^2x}$$ является

Решение:

Данное уравнение имеет вид:

\[ \frac{dx}{dt} - \frac{3x}{t^2} = \frac{5+t}{t^2x} \]

Перепишем его, умножив обе части на \( t^2x \):

\[ t^2x\frac{dx}{dt} - 3x^2 = 5+t \]

Это нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Рассмотрим предложенные варианты:

• Уравнение с полным дифференциалом: вид \( M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \), где \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \). Данное уравнение не соответствует этому виду.
• Уравнение Бернулли: вид \( y' + P(x)y = Q(x)y^n \). Если преобразовать наше уравнение, получим:

  \[ \frac{dx}{dt} - \frac{3}{t^2}x = \frac{5+t}{t^2}x^{-1} \]

  Это уравнение вида \( x' + P(t)x = Q(t)x^{-1} \), что соответствует уравнению Бернулли с \( n = -1 \).

• Однородное уравнение первого порядка: вид \( y' = f(\frac{y}{x}) \) или \( \frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x}) \). Данное уравнение не является однородным.
• Уравнение с разделяющимися переменными: вид \( \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \). Данное уравнение не соответствует этому виду.

Следовательно, данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли.

Ответ: Уравнением Бернулли.