Дифференциальное уравнение xy' - y = xe^y/x.

Пошаговое решение:

1. Перепишем уравнение в стандартном виде: \( y' - \frac{1}{x}y = e^{\frac{y}{x}} \).
2. Заметим, что правая часть зависит от \(\frac{y}{x}\), что может указывать на замену \( y = ux \), где \( u \) — функция от \( x \).
3. Найдем производную \( y' \): \( y' = u + xu' \).
4. Подставим \( y \) и \( y' \) в исходное уравнение: \( (u + xu') - ux = xe^{u} \).
5. Упростим: \( u + xu' - ux = xe^{u} \) => \( xu' = xe^{u} \).
6. Разделим на \( x \) (при условии \( x
   eq 0 \)): \( u' = e^{u} \).
7. Это уравнение с разделяющимися переменными. Запишем \( u' \) как \( \frac{du}{dx} \): \( \frac{du}{dx} = e^{u} \).
8. Разделим переменные: \( \frac{du}{e^{u}} = dx \) => \( e^{-u} du = dx \).
9. Проинтегрируем обе части: \( \int e^{-u} du = \int dx \).
10. Получим: \( -e^{-u} = x + C \), где \( C \) — константа интегрирования.
11. Выразим \( u \): \( e^{-u} = -x - C \).
12. Возьмем натуральный логарифм: \( -u = \ln(-x - C) \).
13. \( u = -\ln(-x - C) = \ln(\frac{1}{-x - C}) \).
14. Вернемся к замене \( y = ux \): \( y = x \cdot \ln(\frac{1}{-x - C}) \).
15. Также можно записать: \( y = -x \ln(-x - C) \).

Ответ: \( y = -x \ln(-x - C) \)