Дина Валерьевна предложила четырём ученикам несколько задач. Каждую задачу решили только трое. Известно, что Соня решила больше всех — шесть задач, а Гриша решил меньше всех — три задачи. Сколько всего задач предложила Дина Валерьевна?

Пошаговое решение:

1. Определим общее количество решенных задач:
   • Соня решила 6 задач.
   • Гриша решил 3 задачи.
2. Вычислим, сколько задач решили двое других учеников. Пусть x — количество задач, решенных одним из учеников, и y — количество задач, решенных другим учеником. Тогда общее количество решенных задач будет:

\[ 6 + 3 + x + y \]

3. Учтем, что каждую задачу решили только трое. Если всего учеников четверо, то общее количество задач можно выразить как:

\[ \frac{6 + 3 + x + y}{3} \]

4. Известно, что Соня решила больше всех (6 задач), а Гриша меньше всех (3 задачи).
5. Предположим, что Дина предложила 7 задач. Тогда распределение задач могло быть таким:
   • Соня: 6 задач
   • Гриша: 3 задачи
   • Один ученик: 4 задачи
   • Другой ученик: 8 задач (это противоречит условию, что Соня решила больше всех)
6. Предположим, что Дина предложила 8 задач. Тогда распределение задач могло быть таким:
   • Соня: 6 задач
   • Гриша: 3 задачи
   • Один ученик: 5 задач
   • Другой ученик: 10 задач (это противоречит условию, что Соня решила больше всех)
7. Решим систему уравнений для 7 задач:
   • Общее количество решенных задач: 6 + 3 + x + y

\[6+3+x+y \]

6. Общее количество задач предложила Дина:

\[ \frac{6 + 3 + x + y}{3} = 7 \]

7. Вычислим значения x и y, учитывая, что x и y должны быть меньше или равны 6:

\[6 + 3 + x + y = 7 \cdot 3\]

\[9 + x + y = 21\]

\[x + y = 12\]

8. Поскольку Соня решила больше всех (6 задач), то x и y не могут быть больше 6. Возможный вариант: x = 6, y = 6.
9. Проверим, что x=6 и y=6 соответствует условию:
   • Соня: 6 задач
   • Гриша: 3 задачи
   • Один ученик: 6 задач
   • Другой ученик: 6 задач

\[ \frac{6 + 3 + 6 + 6}{3} = \frac{21}{3} = 7 \]

Ответ: 7 задач.