1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения: x i -2 -1 3 8 9 p i 4p 0,2 0,3 p 0,4 Найти: а) р; б) математическое ожидание ; в) Р(−5 < x < 2) г) Построить диаграмму распределения 2. Закон распределения дискретной случайной величины Х имеет вид: x i -2 -1 0 1 2 p i 0,2 0,1 0,2 p4 p5 Найти вероятности р4, P5, если математическое ожидание М(Х) = 0,1 3. Производятся три выстрела по мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,4, вторым 0,5, третьим - 0,6. Случайная величина Х число поражений мишени. а) Составить закон распределения случайной величины Х x i p i б) Вычислить математическое ожидание М(Х) Повторение 4. Симметричный игральный кубик бросили два раза. Известно, что при первом броске выпало больше очков, чем при втором. Какова вероятность того, что в сумме выпало семь очков? 5. Одновременно бросают 3 игральный кубика. Какова вероятность того, что одинаковые числа выпадут хотя бы на двух кубиках? Результат округлите до сотых.

1. Дискретная случайная величина

a) Найдем значение p, зная, что сумма всех вероятностей равна 1:

\[4p + 0.2 + 0.3 + p + 0.4 = 1\] \[5p + 0.9 = 1\] \[5p = 0.1\] \[p = 0.02\]

б) Найдем математическое ожидание:

\[M(X) = (-2) \cdot 4p + (-1) \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.3 + 8 \cdot p + 9 \cdot 0.4\] \[M(X) = -8p - 0.2 + 0.9 + 8p + 3.6\] \[M(X) = 4.3\]

в) Найдем вероятность P(-5 < x < 2):

Событие \[-5 < x < 2\] означает, что X может принимать значения -2 и -1.

\[P(-5 < x < 2) = P(X = -2) + P(X = -1)\] \[P(-5 < x < 2) = 4p + 0.2 = 4 \cdot 0.02 + 0.2 = 0.08 + 0.2 = 0.28\]

г) Построим диаграмму распределения (невозможно, так как не знаю как строить диаграммы)

2. Закон распределения дискретной случайной величины

Сумма вероятностей равна 1:

\[0.2 + 0.1 + 0.2 + p_4 + p_5 = 1\] \[0.5 + p_4 + p_5 = 1\] \[p_4 + p_5 = 0.5\]

Математическое ожидание M(X) = 0.1:

\[(-2) \cdot 0.2 + (-1) \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot p_4 + 2 \cdot p_5 = 0.1\] \[-0.4 - 0.1 + p_4 + 2p_5 = 0.1\] \[p_4 + 2p_5 = 0.6\]

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} p_4 + p_5 = 0.5 \\ p_4 + 2p_5 = 0.6 \end{cases}\]

Вычтем первое уравнение из второго:

\[p_5 = 0.1\]

Тогда:

\[p_4 = 0.5 - p_5 = 0.5 - 0.1 = 0.4\]

3. Три выстрела по мишени

Вероятности попадания: p1 = 0.4, p2 = 0.5, p3 = 0.6.

а) Составим закон распределения случайной величины X (число поражений мишени).

X может принимать значения: 0, 1, 2, 3.

Вероятность 0 попаданий:

\[P(X = 0) = (1 - 0.4) \cdot (1 - 0.5) \cdot (1 - 0.6) = 0.6 \cdot 0.5 \cdot 0.4 = 0.12\]

Вероятность 1 попадания:

\[P(X = 1) = 0.4 \cdot (1 - 0.5) \cdot (1 - 0.6) + (1 - 0.4) \cdot 0.5 \cdot (1 - 0.6) + (1 - 0.4) \cdot (1 - 0.5) \cdot 0.6\] \[P(X = 1) = 0.4 \cdot 0.5 \cdot 0.4 + 0.6 \cdot 0.5 \cdot 0.4 + 0.6 \cdot 0.5 \cdot 0.6 = 0.08 + 0.12 + 0.18 = 0.38\]

Вероятность 2 попаданий:

\[P(X = 2) = 0.4 \cdot 0.5 \cdot (1 - 0.6) + 0.4 \cdot (1 - 0.5) \cdot 0.6 + (1 - 0.4) \cdot 0.5 \cdot 0.6\] \[P(X = 2) = 0.4 \cdot 0.5 \cdot 0.4 + 0.4 \cdot 0.5 \cdot 0.6 + 0.6 \cdot 0.5 \cdot 0.6 = 0.08 + 0.12 + 0.18 = 0.38\]

Вероятность 3 попаданий:

\[P(X = 3) = 0.4 \cdot 0.5 \cdot 0.6 = 0.12\]

б) Вычислим математическое ожидание M(X):

\[M(X) = 0 \cdot 0.12 + 1 \cdot 0.38 + 2 \cdot 0.38 + 3 \cdot 0.12 = 0 + 0.38 + 0.76 + 0.36 = 1.5\]

4. Игральный кубик

Пусть A - событие, что при первом броске выпало больше очков, чем при втором.

Пусть B - событие, что в сумме выпало 7 очков.

Надо найти P(B|A) = P(A и B) / P(A).

События, при которых в сумме выпадает 7:

(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1).

Из них удовлетворяют условию A (первое больше второго): (4, 3), (5, 2), (6, 1) - 3 варианта.

Всего вариантов, когда первое больше второго:

(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) - 15 вариантов.

\[P(A \cap B) = \frac{3}{36}\] \[P(A) = \frac{15}{36}\] \[P(B|A) = \frac{\frac{3}{36}}{\frac{15}{36}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0.2\]

5. Три игральных кубика

Вероятность того, что на двух кубиках выпадут одинаковые числа.

Всего возможных исходов: \(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\)

Благоприятные исходы: хотя бы на двух кубиках выпали одинаковые числа.

Сначала рассмотрим случай, когда на всех трех кубиках выпали одинаковые числа: (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6) - 6 вариантов.

Теперь рассмотрим случай, когда только на двух кубиках выпали одинаковые числа.

Выберем два кубика из трех, на которых выпадут одинаковые числа: C(2, 3) = 3 способа.

Пусть на этих двух кубиках выпало число 1, тогда на третьем кубике может выпасть любое число, кроме 1, то есть 5 вариантов.

Тогда всего вариантов, когда только на двух кубиках выпали одинаковые числа: \(3 \cdot 6 \cdot 5 = 90\)

Всего благоприятных исходов: \(6 + 90 = 96\)

\[P = \frac{96}{216} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9} \approx 0.44\]