DK — медиана равностороннего треугольника CDE. Через точку К провели прямую КМ (М ∈ DE), параллельную стороне CD. Определи вид треугольника DKM.

Question

Вопрос:

DK — медиана равностороннего треугольника CDE. Через точку К провели прямую КМ (М ∈ DE), параллельную стороне CD. Определи вид треугольника DKM.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Дано:

\(\triangle CDE\) — равносторонний.
\(DK\) — медиана.
\(KM \parallel CD\), \(M \in DE\).

Найти: вид \(\triangle DKM\).

Ход решения:

Так как \(\triangle CDE\) равносторонний, то все его углы равны \(60^{\circ}\). Следовательно, \(\angle CDE = \angle CED = \angle DCE = 60^{\circ}\).
Так как \(DK\) — медиана, она делит сторону \(CE\) пополам.
Так как \(KM \parallel CD\) и \(DK\) — секущая, то \(\angle DKM = \angle CDK\) (накрест лежащие углы при параллельных прямых \(KM\) и \(CD\) и секущей \(DK\)).
Но \(\angle CDK\) — это часть угла \(\angle CDE\), который равен \(60^{\circ}\).
Так как \(KM
∥ CD\) и \(DE\) — секущая, то \(\angle KMD = \angle CDE = 60^{\circ}\) (соответственные углы).
Теперь рассмотрим \(\triangle DKM\): \(\angle KDM = \angle CDE = 60^{\circ}\). \(\angle DKM\) — нам нужно его найти.
Поскольку \(KM ∥ CD\) и \(CE\) — секущая, то \(\angle MKE = \angle DCE = 60^{\circ}\) (соответственные углы).
\(\angle DKM\) и \(\angle MKE\) — смежные, их сумма равна \(180^{\circ}\), но это не поможет.
Вернемся к \(\triangle CDE\). В равностороннем треугольнике медиана является также биссектрисой и высотой. Значит, \(DK\) делит \(\angle CDE\) пополам, если бы \(DK\) была биссектрисой. Но \(DK\) — медиана.
Рассмотрим \(\triangle CDE\). \(DK\) — медиана. \(KM ∥ CD\).
В равностороннем \(\triangle CDE\) медиана \(DK\) перпендикулярна \(CE\) только если \(CD = CE\), что верно.
Рассмотрим \(\triangle CDE\). \(\angle C = \angle D = \angle E = 60^{\circ}\). \(DK\) — медиана. \(KM ∥ CD\). \(M \in DE\).
Так как \(KM ∥ CD\), то \(\triangle EKM ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ \triangle ECD\) (по двум углам: \(\angle E\) общий, \(\angle EKM = \angle ECD = 60^{\circ}\) — как соответствующие углы при \(KM ∥ CD\) и секущей \(EC\)).
Из подобия \(\triangle EKM ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ \triangle ECD\) следует, что \(\triangle EKM\) тоже равносторонний. Значит, \(\angle EMK = \angle EKM = \angle KEM = 60^{\circ}\).
Теперь рассмотрим \(\triangle DKM\).
\(\angle KDM = \angle CDE = 60^{\circ}\) (угол \(\triangle CDE\)).
\(\angle DKM\) и \(\angle CKM\) — смежные.
\(\angle DKM\) и \(\angle KMC\) — смежные.
\(\angle CKM\) — часть \(\angle CDE\).
Рассмотрим углы \(\triangle DKM\).
\(\angle KDM = 60^{\circ}\).
\(\angle EKM = 60^{\circ}\) (из равностороннего \(\triangle EKM\)).
\(\angle CDE = 60^{\circ}\) (равносторонний \(\triangle CDE\)).
\(\angle DKC + \angle CKE = 180^{\circ}\).
\(\angle DKM + \angle CKM = \angle CDE = 60^{\circ}\).
Так как \(KM ∥ CD\) и \(DK\) — секущая, \(\angle DKM = \angle CDK\) (накрест лежащие).
Так как \(KM ∥ CD\) и \(CE\) — секущая, \(\angle KME = \angle DCE = 60^{\circ}\).
\(\angle DKC + \angle CKE = 180^{\circ}\).
\(\angle KDC = 60^{\circ}\).
\(\angle DKC = ?\).
\(\angle KCD = 60^{\circ}\) (так как \(\triangle CDE\) равносторонний).
\(\angle CKD = 180^{\circ} - \angle KDC - \angle KCD = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}\).
Теперь рассмотрим \(\triangle DKM\).
\(\angle KDM = 60^{\circ}\).
\(\angle DKM\) и \(\angle CKD = 60^{\circ}\) — смежные углы. \(\angle DKM = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\).
\(\angle KMD\) — нам нужно найти. \(\angle KMD\) и \(\angle CME\) — смежные.
\(\angle CDE = 60^{\circ}\). \(KM ∥ CD\). \(M \in DE\). \(\triangle EKM \sim \triangle ECD\). \(\angle KEM = 60^{\circ}\). \(\angle EKM = 60^{\circ}\). \(\angle EMK = 60^{\circ}\).
\(\angle DKM = 180^{\circ} - \angle EKM = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\).
В \(\triangle DKM\): \(\angle KDM = 60^{\circ}\), \(\angle DKM = 120^{\circ}\).
Сумма углов в \(\triangle DKM\) равна \(180^{\circ}\). \(\angle KMD = 180^{\circ} - \angle KDM - \angle DKM = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 120^{\circ} = 0^{\circ}\). Это невозможно.
Переосмысление:
\(\triangle CDE\) — равносторонний, \(\angle C = \angle D = \angle E = 60^{\circ}\).
\(DK\) — медиана.
\(KM ∥ CD\).
Так как \(KM ∥ CD\), то \(\triangle EKM ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ \triangle ECD\) (по двум углам: \(\angle E\) — общий, \(\angle EKM = \angle ECD = 60^{\circ}\) — соответственные).
Следовательно, \(\triangle EKM\) — равносторонний. \(\angle KEM = \angle EKM = \angle EMK = 60^{\circ}\).
Теперь рассмотрим \(\triangle DKM\).
\(\angle KDM = \angle CDE = 60^{\circ}\) (так как \(\triangle CDE\) равносторонний).
\(\angle DKM = 180^{\circ} - \angle EKM = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\) (развёрнутый угол \(\angle DME\)).
\(\angle KMD\) — это угол \(\triangle DKM\). \(\angle KMD = \angle EMD - \angle EMK\). \(\angle EMD = 180^{\circ}\) (развёрнутый угол). \(\angle KMD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\).
В \(\triangle DKM\): \(\angle KDM = 60^{\circ}\), \(\angle DKM = 120^{\circ}\), \(\angle KMD = 120^{\circ}\). Сумма углов \(60+120+120 = 300^{\circ}\), что не равно \(180^{\circ}\). Ошибка в логике.
Новый подход:
\(\triangle CDE\) — равносторонний, значит \(CD = DE = CE\) и \(\angle C = \angle D = \angle E = 60^{\circ}\).
\(DK\) — медиана, поэтому \(K\) — середина \(CE\). \(CK = KE\).
\(KM ∥ CD\).
Рассмотрим \(\triangle CDE\) и прямую \(KM\), параллельную \(CD\).
По теореме Фалеса (или по свойству средней линии, если бы \(K\) и \(M\) были серединами), так как \(KM ∥ CD\), то \(\frac{EK}{EC} = \frac{EM}{ED} = \frac{KM}{CD}\).
Так как \(DK\) — медиана, \(K\) — середина \(CE\), то \(EK = \frac{1}{2} EC\).
Значит, \(\frac{EK}{EC} = \frac{1}{2}\).
Следовательно, \(\frac{KM}{CD} = \frac{1}{2}\), то есть \(KM = \frac{1}{2} CD\).
А также \(\frac{EM}{ED} = \frac{1}{2}\), значит, \(EM = \frac{1}{2} ED\). Поскольку \(ED = CD\), то \(EM = \frac{1}{2} CD\).
Поскольку \(DE = CD\), то \(EM = \frac{1}{2} DE\). Это значит, что \(M\) — середина \(DE\).
Значит, \(KM\) — средняя линия \(\triangle CDE\) (соединяет середины сторон \(CE\) и \(DE\)).
Средняя линия параллельна основанию \(CD\) и равна его половине, что соответствует условию.
Теперь рассмотрим \(\triangle DKM\).
\(\angle KDM = \angle CDE = 60^{\circ}\) (так как \(\triangle CDE\) равносторонний).
Так как \(KM ∥ CD\) и \(DK\) — секущая, то \(\angle DKM = \angle CDK\) (накрест лежащие углы). \(\angle CDK\) — это часть \(\angle CDE\).
Так как \(DK\) — медиана равностороннего \(\triangle CDE\), она также является и биссектрисой \(\angle CDE\) и высотой. (Это утверждение неверно. Медиана в равностороннем треугольнике является биссектрисой и высотой только из той вершины, к которой она проведена. DK проведена к стороне CE, значит, она биссектриса угла CDE и высота к стороне CE, если бы была проведена из D).
Повторное осмысление:
\(\triangle CDE\) — равносторонний, \(\\cdotC = \angle D = \angle E = 60^{\circ}\). \(CD = DE = CE\).
\(DK\) — медиана к стороне \(CE\), значит \(CK = KE\).
\(KM ∥ CD\), \(M ∈ DE\).
Рассмотрим \(\triangle CDE\). Угол \(\angle D = 60^{\circ}\).
Так как \(KM ∥ CD\) и \(DK\) — секущая, то \(\angle DKM = \angle CDK\) (накрест лежащие). \(\angle CDK\) — это часть \(\angle CDE\).
Так как \(KM ∥ CD\) и \(DE\) — секущая, то \(\angle KMD = \angle CDE = 60^{\circ}\) (соответственные углы).
Теперь рассмотрим \(\triangle DKM\).
Мы знаем \(\angle KDM = 60^{\circ}\) (т.к. \(\\cdotD\) в \(\triangle CDE\)).
Мы знаем \(\angle KMD = 60^{\circ}\) (из-за параллельности \(KM ∥ CD\) и секущей \(DE\)).
Следовательно, \(\triangle DKM\) имеет два угла равных \(60^{\circ}\) ( \(\angle KDM\) и \(\angle KMD\)).
Сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\). \(\angle DKM = 180^{\circ} - \angle KDM - \angle KMD = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}\).
Все углы \(\triangle DKM\) равны \(60^{\circ}\).
Следовательно, \(\triangle DKM\) — равносторонний.

Вывод:

Треугольник DKM равносторонний.