2. Длина катета прямоугольного равнобедренного треугольника равна 4 см. Плоскость а, проходящая через катет, образует с плоскостью тре- угольника угол, величина которого равна 30°. Найдите длину проекции ги- потенузы на плоскость а

Решение:

1. Пусть дан прямоугольный равнобедренный треугольник $$ABC$$ с катетами $$AB = BC = 4$$ см. Пусть плоскость $$\alpha$$ проходит через катет $$AB$$. Угол между плоскостью треугольника и плоскостью $$\alpha$$ равен $$30^\circ$$.
2. Найдем гипотенузу $$AC$$: $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см}$$
3. Проекцией гипотенузы $$AC$$ на плоскость $$\alpha$$ является отрезок $$AD$$, где $$D$$ - проекция точки $$C$$ на плоскость $$\alpha$$.
4. Угол между плоскостью треугольника и плоскостью $$\alpha$$ - это угол между перпендикуляром $$CE$$ к $$AB$$ и его проекцией $$DE$$ на плоскость $$\alpha$$. Следовательно, $$\angle CED = 30^\circ$$.
5. Так как $$ABC$$ - равнобедренный прямоугольный треугольник, то $$CE$$ - медиана, следовательно, $$CE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$ см.
6. Из прямоугольного треугольника $$CDE$$ найдем $$DE$$: $$DE = CE \cdot \cos{\angle CED} = 2\sqrt{2} \cdot \cos{30^\circ} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6} \text{ см}$$
7. Рассмотрим треугольник $$ADE$$. По теореме Пифагора: $$AD = \sqrt{AE^2 + DE^2} = \sqrt{(AB + BE)^2 + DE^2} = \sqrt{(4 + 2)^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{6^2 + 6} = \sqrt{36 + 6} = \sqrt{42} \text{ см}$$

Ответ: $$\sqrt{42}$$ см