Длина отрезка AB = 5. Найди геометрическое место точек плоскости, удаленных от точки А на расстояние не более 4 и от В — на расстояние не более 3. В ответе напиши, сколько точек в полученном ГМТ.

Решение:

Геометрическое место точек, удаленных от точки А на расстояние не более 4, — это круг с центром в точке А и радиусом 4 (включая границу). Обозначим его как K_A.

Геометрическое место точек, удаленных от точки В на расстояние не более 3, — это круг с центром в точке В и радиусом 3 (включая границу). Обозначим его как K_B.

Нам нужно найти точки, которые принадлежат обоим этим кругам (их пересечение).

Длина отрезка AB = 5.

Рассмотрим возможные случаи расположения центров кругов и их радиусы:

• Сумма радиусов: \( R_A + R_B = 4 + 3 = 7 \).
• Разность радиусов: \( |R_A - R_B| = |4 - 3| = 1 \).

Поскольку расстояние между центрами (5) больше разности радиусов (1) и меньше суммы радиусов (7), то круги пересекаются. Они пересекаются в двух точках.

Чтобы убедиться, что эти точки являются единственными, рассмотрим следующие условия:

• Точки, удаленные от А не более чем на 4: \( d(M, A) ≤ 4 \).
• Точки, удаленные от В не более чем на 3: \( d(M, B) ≤ 3 \).

Если бы круги были концентрическими (A=B), то пересечение было бы кругом с меньшим радиусом (3 точки).

Если бы расстояние между центрами было равно сумме радиусов \( d(A, B) = R_A + R_B \), то круги касались бы во внешней точке.

Если бы расстояние между центрами было равно разности радиусов \( d(A, B) = |R_A - R_B| \), то один круг касался бы другого изнутри.

В нашем случае \( |R_A - R_B| < d(A, B) < R_A + R_B \) (т.е. \( 1 < 5 < 7 \)). Это означает, что круги пересекаются в двух точках.

Ответ: 2