Длина вектора \(\vec{a}\) равна 18, угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 135°, а скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) равно $$-27\sqrt{2}$$. Найдите длину вектора \(\vec{b}\).

Для решения данной задачи воспользуемся формулой скалярного произведения двух векторов:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\theta}$$

Где:

• $$\vec{a} \cdot \vec{b}$$ - скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)
• $$\|\vec{a}\|$$ - длина вектора \(\vec{a}\), равна 18
• $$\|\vec{b}\|$$ - длина вектора \(\vec{b}\) (которую нужно найти)
• $$\theta$$ - угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), равен 135°

Известно, что \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -27\sqrt{2}\). Подставим известные значения в формулу:

$$-27\sqrt{2} = 18 \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{135^\circ}$$

Косинус угла 135° равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\):

$$\cos{135^\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставим это значение в уравнение:

$$-27\sqrt{2} = 18 \cdot |\vec{b}| \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

Упростим уравнение:

$$-27\sqrt{2} = -9\sqrt{2} \cdot |\vec{b}|$$

Разделим обе части уравнения на \(-9\sqrt{2}\) для нахождения длины вектора \(\vec{b}\):

$$|\vec{b}| = \frac{-27\sqrt{2}}{-9\sqrt{2}} = 3$$

Ответ: 3