2) Длину прямоугольника уменьшили в 2 раза, а ширину увеличили на 1 дм и получили квадрат. Найти сторону квадрата, если площадь прямоугольника 60 дм².

Пусть (a) – длина прямоугольника, (b) – ширина прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна \(S = a \cdot b\), и по условию (S = 60) дм², следовательно:

$$ a cdot b = 60 $$

После изменений длина стала \(\frac{a}{2}\), ширина (b + 1). Так как после изменений получился квадрат, то длина и ширина равны:

$$ \frac{a}{2} = b + 1 $$

Выразим (a) через (b) из второго уравнения:

$$ a = 2(b + 1) $$

Подставим выражение для (a) в первое уравнение:

$$ 2(b + 1) cdot b = 60 $$

Раскроем скобки и упростим:

$$ 2b^2 + 2b = 60 $$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$ b^2 + b = 30 $$

Перенесем все в левую часть:

$$ b^2 + b - 30 = 0 $$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \(\cdot\) 1 \(\cdot\) (-30) = 1 + 120 = 121)

$$ b_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 cdot 1} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$

$$ b_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 cdot 1} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6 $$

Так как ширина не может быть отрицательной, то (b = 5) дм.

Найдем сторону квадрата: \(\frac{a}{2} = b + 1 = 5 + 1 = 6\) дм.

Ответ: сторона квадрата равна 6 дм.