17. Длины двух сторон треугольника равны 3 и 5. Длина медианы, проведённой к его третьей стороне, равна 2. Докажите, что эта медиана с одной из двух данных сторон треугольника образует угол 90° (рис. 11).

Для решения этой задачи нам потребуется применить теорему косинусов и свойства медианы треугольника. Давай разберем по порядку: 1. Обозначим треугольник как \( \triangle ABC \), где \( AB = 3 \), \( AC = 5 \), и медиана \( AM = 2 \), где \( M \) - середина стороны \( BC \). 2. Пусть \( BM = MC = x \). Тогда вся сторона \( BC = 2x \). 3. Теорема косинусов для \( \triangle ABM \): \[ AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 \cdot AM \cdot BM \cdot \cos(\angle AMB) \] Подставляем известные значения: \[ 3^2 = 2^2 + x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x \cdot \cos(\angle AMB) \] \[ 9 = 4 + x^2 - 4x \cos(\angle AMB) \] \[ 5 = x^2 - 4x \cos(\angle AMB) \] (1) 4. Теорема косинусов для \( \triangle AMC \): \(\angle AMC \) смежный с \( \angle AMB \), следовательно, \( \cos(\angle AMC) = -\cos(\angle AMB) \). \[ AC^2 = AM^2 + MC^2 - 2 \cdot AM \cdot MC \cdot \cos(\angle AMC) \] Подставляем известные значения: \[ 5^2 = 2^2 + x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x \cdot (-\cos(\angle AMB)) \] \[ 25 = 4 + x^2 + 4x \cos(\angle AMB) \] \[ 21 = x^2 + 4x \cos(\angle AMB) \] (2) 5. Сложим уравнения (1) и (2): \[ 5 + 21 = x^2 - 4x \cos(\angle AMB) + x^2 + 4x \cos(\angle AMB) \] \[ 26 = 2x^2 \] \[ x^2 = 13 \] \[ x = \sqrt{13} \] Тогда \( BC = 2\sqrt{13} \). 6. Теорема косинусов для \( \triangle ABC \): \[ AM \] - медиана, и нужно проверить, образует ли она прямой угол с одной из сторон. \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) \] \[ (2\sqrt{13})^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\angle BAC) \] \[ 52 = 9 + 25 - 30 \cos(\angle BAC) \] \[ 52 = 34 - 30 \cos(\angle BAC) \] \[ 18 = -30 \cos(\angle BAC) \] \[ \cos(\angle BAC) = -\frac{18}{30} = -\frac{3}{5} \] 7. Теперь нам нужно проверить, является ли угол \( \angle AMC \) прямым. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора для \( \triangle ABM \) или \( \triangle AMC \). Подставим значение \( x^2 = 13 \) в уравнение (2): \[ 21 = 13 + 4\sqrt{13} \cos(\angle AMB) \] \[ 8 = 4\sqrt{13} \cos(\angle AMB) \] \[ \cos(\angle AMB) = \frac{8}{4\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} \] 8. Рассмотрим треугольник ABM. Если угол \( \angle AMB = 90^{\circ} \), то по теореме Пифагора: \[ AB^2 + AM^2 = BM^2 \] \[ 3^2 + 2^2 = (\sqrt{13})^2 \] \[ 9 + 4 = 13 \] \[ 13 = 13 \] Так как равенство выполняется, то угол \( \angle AMB = 90^{\circ} \).

Ответ: Медиана AM образует прямой угол со стороной BC.