Длины двух сторон треугольника равны 2 и 5 (рис. 18.37). Докажите, что медиана, проведён- ная к третьей его стороне, больше 1,5.

Ответ: Медиана больше 1,5.

Пусть дан треугольник со сторонами a = 2, b = 5, и медианой m, проведенной к третьей стороне c. Обозначим половину стороны c как \(\frac{c}{2}\).

Рассмотрим два треугольника, образованные медианой. Для каждого из них выполняется неравенство треугольника:

1. В первом треугольнике со сторонами a = 2, m и \(\frac{c}{2}\): \[ a + m > \frac{c}{2} \] \[ 2 + m > \frac{c}{2} \]

2. Во втором треугольнике со сторонами b = 5, m и \(\frac{c}{2}\): \[ b + m > \frac{c}{2} \] \[ 5 + m > \frac{c}{2} \]

Сложим эти два неравенства:

\[ 2 + m + 5 + m > \frac{c}{2} + \frac{c}{2} \] \[ 7 + 2m > c \]

Теперь рассмотрим неравенство треугольника для исходного треугольника со сторонами a = 2, b = 5 и c: \[ a + b > c \] \[ 2 + 5 > c \] \[ 7 > c \]

Подставим c из неравенства 7 + 2m > c: \[ 7 + 2m > c \]

Так как c < 7, то \[ 7 + 2m > 7 \] \[ 2m > 0 \]

Это не дает нам нижней оценки для m.

Однако, можно воспользоваться другим подходом. Рассмотрим неравенство треугольника для исходного треугольника еще раз: \[ |a - b| < c < a + b \] \[ |2 - 5| < c < 2 + 5 \] \[ 3 < c < 7 \]

Из неравенства 7 + 2m > c выразим m: \[ 2m > c - 7 \] \[ m > \frac{c - 7}{2} \]

Так как c < 7, то \(\frac{c - 7}{2}\) будет отрицательным числом, что не дает нам полезной информации.

Воспользуемся другим неравенством: \[ m_c > \frac{a+b-c}{2} \], где m_c - медиана, проведенная к стороне c.

Чтобы медиана была наименьшей, c должно быть наибольшим. Наибольшее значение c меньше 7 (c < 7). Примем c близким к 7, например, 6.999.

\[ m > \frac{2 + 5 - 6.999}{2} \] \[ m > \frac{0.001}{2} \] \[ m > 0.0005 \]

Этот подход тоже не даёт нам доказать, что медиана больше 1.5.

Рассмотрим формулу для медианы: \[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \]

Чтобы доказать, что m > 1.5, нужно показать, что: \[ \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} > 1.5 \] \[ \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} > 3 \] \[ 2a^2 + 2b^2 - c^2 > 9 \]

Подставим значения a = 2 и b = 5: \[ 2(2^2) + 2(5^2) - c^2 > 9 \] \[ 8 + 50 - c^2 > 9 \] \[ 58 - c^2 > 9 \] \[ c^2 < 49 \] \[ c < 7 \]

Это условие выполняется, так как мы знаем, что c < a + b = 7.

Теперь рассмотрим наименьшее возможное значение c. Мы знаем, что c > |a - b| = 3. Подставим c = 3: \[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2(2^2) + 2(5^2) - 3^2} \] \[ m = \frac{1}{2} \sqrt{8 + 50 - 9} \] \[ m = \frac{1}{2} \sqrt{49} \] \[ m = \frac{1}{2} \cdot 7 \] \[ m = 3.5 \]

Так как наименьшее возможное значение c = 3 даёт m = 3.5, а с увеличением c, m будет уменьшаться, то нам нужно найти такое значение c, при котором m = 1.5: \[ 1.5 = \frac{1}{2} \sqrt{2(2^2) + 2(5^2) - c^2} \] \[ 3 = \sqrt{8 + 50 - c^2} \] \[ 9 = 58 - c^2 \] \[ c^2 = 49 \] \[ c = 7 \]

Но мы знаем, что c < 7, следовательно, m > 1.5.

Ответ: Медиана больше 1,5.