Длины векторов а и б равны соответственно 11 и 7, а их скалярное произведение равно 53. Найдите длину вектора с, если с = a +26.

Решение:

Дано:

• \( |\vec{a}| = 11 \)
• \( |\vec{b}| = 7 \)
• \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 53 \)
• \( \vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} \)

Найти:

• \( |\vec{c}| \)

Ход решения:

1. Вычислим квадрат длины вектора \( \vec{c} \) через скалярное произведение:
\[ |\vec{c}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) \]
2. Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:
\[ |\vec{c}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \cdot (\vec{a} \cdot 2\vec{b}) + (2\vec{b}) \cdot (2\vec{b}) \] \[ |\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 \]
3. Подставим известные значения:
\[ |\vec{c}|^2 = 11^2 + 4(53) + 4(7^2) \] \[ |\vec{c}|^2 = 121 + 212 + 4(49) \] \[ |\vec{c}|^2 = 121 + 212 + 196 \] \[ |\vec{c}|^2 = 529 \]
4. Найдем длину вектора \( \vec{c} \), извлекая квадратный корень:
\[ |\vec{c}| = \sqrt{529} \] \[ |\vec{c}| = 23 \]

Ответ: 23