Длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равны \(\sqrt{8}\) и 7, а угол между ними равен 45°. Найдите скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).

Для нахождения скалярного произведения двух векторов, зная их длины и угол между ними, используется следующая формула:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)\)

где:

* \(|\vec{a}|\) - длина вектора \(\vec{a}\)
* \(|\vec{b}|\) - длина вектора \(\vec{b}\)
* \(\theta\) - угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)

В нашем случае:

* \(|\vec{a}| = \sqrt{8}\)
* \(|\vec{b}| = 7\)
* \(\theta = 45^\circ\)

Подставим значения в формулу:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{8} \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)\)

Мы знаем, что \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Тогда:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{8} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Преобразуем \(\sqrt{8}\) как \(2\sqrt{2}\):

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Упростим выражение:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 14 \cdot \frac{2}{2}\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 14\)

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно 14.