Длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равны \(\sqrt{8}\) и 7, а угол между ними равен 45°. Найдите скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).

Для нахождения скалярного произведения двух векторов, зная их длины и угол между ними, используется следующая формула: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)\) где: * \(|\vec{a}|\) - длина вектора \(\vec{a}\) * \(|\vec{b}|\) - длина вектора \(\vec{b}\) * \(\theta\) - угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) В нашем случае: * \(|\vec{a}| = \sqrt{8}\) * \(|\vec{b}| = 7\) * \(\theta = 45^\circ\) Подставим значения в формулу: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{8} \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)\) Мы знаем, что \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Тогда: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{8} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\) Преобразуем \(\sqrt{8}\) как \(2\sqrt{2}\): \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\) Упростим выражение: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 14 \cdot \frac{2}{2}\) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 14\) Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно 14.