Для анализа результатов ВПР по математике в 4 классе были собраны данные: оценки 5, 4, 3, 2 по годам 2022, 2023, 2024, 2025 соответственно: 2022 — 2, 14, 15, 0; 2023 — 1, 16, 15, 1; 2024 — 2, 15, 14, 1; 2025 — 3, 12, 14, 1. Всего человек: 31, 33, 32, 30. Найти средний балл, дисперсию, стандартное отклонение, коэффициент вариации и качество знаний по каждому году. Построить таблицу, графики среднего балла и качества знаний, гистограмму коэффициента вариации. Сделать вывод о качестве усвоения материала и выделить год с лучшими показателями.

Принято: дисперсия рассчитывается по формуле для всей совокупности данных: \(D=\frac{\sum x_i^2}{n}-\bar{x}^2\). Качество знаний — доля обучающихся, получивших оценки 4 и 5.

1. Математические вычисления

1. 2022 год.
   Средний балл: \(\bar{x}=\frac{5\cdot2+4\cdot14+3\cdot15+2\cdot0}{31}=\frac{111}{31}\approx3.581\).
   Дисперсия: \(D=\frac{5^2\cdot2+4^2\cdot14+3^2\cdot15}{31}-3.581^2\approx0.373\).
   Стандартное отклонение: \(\sigma=\sqrt{0.373}\approx0.610\).
   Коэффициент вариации: \(V=\frac{0.610}{3.581}\cdot100\%\approx17.05\%\).
   Качество знаний: \(Q=\frac{2+14}{31}\cdot100\%\approx51.61\%\).
2. 2023 год.
   \(\bar{x}=\frac{5\cdot1+4\cdot16+3\cdot15+2\cdot1}{33}=\frac{116}{33}\approx3.515\).
   \(D=\frac{5^2\cdot1+4^2\cdot16+3^2\cdot15+2^2\cdot1}{33}-3.515^2\approx0.371\).
   \(\sigma\approx0.609\).
   \(V=\frac{0.609}{3.515}\cdot100\%\approx17.33\%\).
   \(Q=\frac{1+16}{33}\cdot100\%\approx51.52\%\).
3. 2024 год.
   \(\bar{x}=\frac{5\cdot2+4\cdot15+3\cdot14+2\cdot1}{32}=\frac{114}{32}=3.563\).
   \(D=\frac{5^2\cdot2+4^2\cdot15+3^2\cdot14+2^2\cdot1}{32}-3.563^2\approx0.434\).
   \(\sigma\approx0.658\).
   \(V=\frac{0.658}{3.563}\cdot100\%\approx18.48\%\).
   \(Q=\frac{2+15}{32}\cdot100\%\approx53.13\%\).
4. 2025 год.
   \(\bar{x}=\frac{5\cdot3+4\cdot12+3\cdot14+2\cdot1}{30}=\frac{107}{30}\approx3.567\).
   \(D=\frac{5^2\cdot3+4^2\cdot12+3^2\cdot14+2^2\cdot1}{30}-3.567^2\approx0.512\).
   \(\sigma\approx0.716\).
   \(V=\frac{0.716}{3.567}\cdot100\%\approx20.07\%\).
   \(Q=\frac{3+12}{30}\cdot100\%=50.00\%\).

2. Итоговая таблица

3. График среднего балла и качества знаний

4. Гистограмма коэффициента вариации

5. Вывод

Во все годы средний балл находился примерно на уровне 3.5–3.6, поэтому общий уровень выполнения ВПР можно оценить как удовлетворительный. Наибольшее качество знаний наблюдалось в 2024 году — 53.13%. Наибольший средний балл был в 2022 году — 3.581, а наименьший коэффициент вариации, то есть наиболее однородные результаты, также в 2022 году — 17.05%. В 2025 году качество знаний снизилось до 50%, а разброс результатов увеличился до 20.07%.

Ответ: лучший общий результат показан в 2022 году; максимальное качество знаний достигнуто в 2024 году.