Для числовой последовательности хп=(1 0 -1 2) коэффициент дискретного преобразования Фурье равен ______.

Решение:

Для числовой последовательности \( x_n = (1, 0, -1, 2) \) коэффициент дискретного преобразования Фурье (ДПФ) рассчитывается следующим образом:

\( X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i \frac{2\pi}{N} nk} \), где \( N=4 \) - длина последовательности.

Для \( k=0 \):

\( X_0 = x_0 + x_1 + x_2 + x_3 = 1 + 0 + (-1) + 2 = 2 \)

Для \( k=1 \):

\( X_1 = x_0 e^0 + x_1 e^{-i \frac{\pi}{2}} + x_2 e^{-i \pi} + x_3 e^{-i \frac{3\pi}{2}} \)

\( X_1 = 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-i) + (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot (i) = 1 + 0 + 1 + 2i = 2 + 2i \)

Для \( k=2 \):

\( X_2 = x_0 e^0 + x_1 e^{-i \pi} + x_2 e^{-i 2\pi} + x_3 e^{-i 3\pi} \)

\( X_2 = 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 1 + 0 - 1 - 2 = -2 \)

Для \( k=3 \):

\( X_3 = x_0 e^0 + x_1 e^{-i \frac{3\pi}{2}} + x_2 e^{-i 3\pi} + x_3 e^{-i \frac{9\pi}{2}} \)

\( X_3 = 1 \cdot 1 + 0 \cdot (i) + (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot (-i) = 1 + 0 + 1 - 2i = 2 - 2i \)

Коэффициенты дискретного преобразования Фурье равны:

\( X_0 = 2 \)

\( X_2 = -2 \)

Ответ: X0 = 2, X2 = -2