Для числовой последовательности xn=(1 0 -1 2) коэффициент дискретного преобразования Фурье ____ равен ____.

Решение:

Для числовой последовательности \( x_n = (1, 0, -1, 2) \) дискретное преобразование Фурье (ДПФ) вычисляется по формуле:

\[ X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i \frac{2\pi}{N} nk} \]

Где \( N=4 \) (количество отсчетов).

Вычислим коэффициенты:

Для \( k=0 \) (DC-компонент):

\[ X_0 = \sum_{n=0}^{3} x_n = 1 + 0 + (-1) + 2 = 2 \]

Для \( k=1 \):

\[ X_1 = \sum_{n=0}^{3} x_n e^{-i \frac{2\pi}{4} n} = \sum_{n=0}^{3} x_n e^{-i \frac{\pi}{2} n} \]

\[ X_1 = x_0 e^0 + x_1 e^{-i \frac{\pi}{2}} + x_2 e^{-i \pi} + x_3 e^{-i \frac{3\pi}{2}} \]

\[ X_1 = 1(1) + 0(-i) + (-1)(-1) + 2(i) = 1 + 0 + 1 + 2i = 2 + 2i \]

Для \( k=2 \):

\[ X_2 = \sum_{n=0}^{3} x_n e^{-i \frac{2\pi}{4} 2n} = \sum_{n=0}^{3} x_n e^{-i \pi n} \]

\[ X_2 = x_0 e^0 + x_1 e^{-i \pi} + x_2 e^{-i 2\pi} + x_3 e^{-i 3\pi} \]

\[ X_2 = 1(1) + 0(-1) + (-1)(1) + 2(-1) = 1 + 0 - 1 - 2 = -2 \]

Для \( k=3 \):

\[ X_3 = \sum_{n=0}^{3} x_n e^{-i \frac{2\pi}{4} 3n} = \sum_{n=0}^{3} x_n e^{-i \frac{3\pi}{2} n} \]

\[ X_3 = x_0 e^0 + x_1 e^{-i \frac{3\pi}{2}} + x_2 e^{-i 3\pi} + x_3 e^{-i \frac{9\pi}{2}} \]

\[ X_3 = 1(1) + 0(i) + (-1)(-1) + 2(-i) = 1 + 0 + 1 - 2i = 2 - 2i \]

Следовательно, коэффициент дискретного преобразования Фурье для \( x_n=(1, 0, -1, 2) \) равен \( X_0 = 2 \), \( X_1 = 2 + 2i \), \( X_2 = -2 \), \( X_3 = 2 - 2i \).

Заполняя пропуски:

Для числовой последовательности \( x_n=(1, 0, -1, 2) \) коэффициент дискретного преобразования Фурье \( X_2 \) равен \( -2 \).

Примечание: Если имеется в виду конкретный коэффициент, то на изображении не указано, какой именно. Исходя из вариантов ответов (которые не видны), выбор может быть другим. Здесь представлен расчет для всех коэффициентов, и в частности для X2.