Для двух натуральных чисел x и y: 21609 = x² − y². 1. Сколькими способами это можно сделать?

Разложим разность квадратов:

x² − y² = (x − y)(x + y) = 21609.

Поскольку 21609 = 3² · 7⁴ — нечётное число, оба множителя нечётные. Число его положительных делителей равно (2 + 1)(4 + 1) = 15, поэтому имеется 8 пар делителей, если считать пары без учёта порядка. Одна из них — равные множители 147 и 147 — даёт y = 0 и не подходит, так как натуральные числа здесь положительные.

Остаётся 7 пар множителей, а каждой паре a = x − y и b = x + y, где a < b, соответствует решение x = (a + b)/2, y = (b − a)/2.

Ответ: 7 способов.