Для функции f(x)= 3sinx найдите: a) множество всех первообразных; б) первообразную, график которой проходит через точку М(π/2 : 0)

Решение:

а) Множество всех первообразных

Первообразной для функции \( f(x) = 3\sin x \) является функция \( F(x) \), такая что \( F'(x) = f(x) \).

Интегрируем функцию \( f(x) = 3\sin x \):

\[ \int 3\sin x \, dx = 3 \int \sin x \, dx = 3(-\cos x) + C = -3\cos x + C \]

Таким образом, множество всех первообразных для \( f(x) = 3\sin x \) есть \( F(x) = -3\cos x + C \), где \( C \) — произвольная постоянная.

б) Первообразная, график которой проходит через точку М(π/2 : 0)

Используем найденную общую формулу первообразной \( F(x) = -3\cos x + C \).

Подставим координаты точки \( M(\frac{\pi}{2}, 0) \) в уравнение первообразной:

\[ 0 = -3\cos(\frac{\pi}{2}) + C \]

Так как \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \), получаем:

\[ 0 = -3 \cdot 0 + C \]

\( C = 0 \)

Следовательно, искомая первообразная имеет вид \( F(x) = -3\cos x \).

Ответ: а) \( -3\cos x + C \); б) \( -3\cos x \).