Для функции у = f(x) найдите хотя бы одну первооб ную: 48.3. a) f(x) = -1/x³; 48.4. a) f(x) = 1/2√x; 48.5. a) f(x) = x² + x¹⁸; 6) f(x) = 1/2√x - 1/x¹; 48.6. a) f(x) = 4x³ - 6x²;

Решение заданий на нахождение первообразной функции.

48.3. a)

Для функции $$f(x) = -\frac{1}{x^3} = -x^{-3}$$ найдем первообразную:

$$F(x) = -\frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = -\frac{x^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{2x^2} + C$$

Ответ: $$F(x) = \frac{1}{2x^2} + C$$

---

48.4. a)

Для функции $$f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$ найдем первообразную:

$$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{x} + C$$

Ответ: $$F(x) = \sqrt{x} + C$$

---

48.5. a)

Для функции $$f(x) = x^2 + x^{18}$$ найдем первообразную:

$$F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + \frac{x^{18+1}}{18+1} + C = \frac{x^3}{3} + \frac{x^{19}}{19} + C$$

Ответ: $$F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^{19}}{19} + C$$

---

б)

Для функции $$f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^4} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - x^{-4}$$ найдем первообразную:

$$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} - \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} - \frac{x^{-3}}{-3} + C = \sqrt{x} + \frac{1}{3x^3} + C$$

Ответ: $$F(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{3x^3} + C$$

---

48.6. a)

Для функции $$f(x) = 4x^3 - 6x^2$$ найдем первообразную:

$$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 6 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^4 - 2x^3 + C$$

Ответ: $$F(x) = x^4 - 2x^3 + C$$