Для каких x выполняется неравенство \(2x^2+x+1>0\)?

Рассмотрим квадратный трёхчлен \(2x^2+x+1\). Его дискриминант равен \(D=1^2-4\cdot2\cdot1=-7<0\), поэтому действительных корней нет.

Старший коэффициент положительный: \(2>0\). Значит, парабола расположена выше оси \(x\), и трёхчлен положителен при любом действительном \(x\).

Ответ: \(x\in(-\infty;+\infty)\).