Для каждого из рисунков № 1 - № 10 укажите, по какому признаку равны треугольники и найдите неизвестную сторону или угол, обозначенные знаком вопроса.

Решение:

№ 1

Треугольники △ABC и △KMP равны по двум сторонам и углу между ними (по второму признаку равенства треугольников). У нас есть:

• AB = KM
• ∠A = ∠K
• AC = KP

Из рисунка видно, что AB = 11, ∠A = 37°, ∠C = 51°. Для второго треугольника KM = 11, ∠K = ?, ∠P = 37°, ∠M = 51°. Нам не хватает информации для определения признака равенства.

№ 2

Треугольники △ABC и △KMP равны по двум сторонам и углу между ними (по второму признаку равенства треугольников).

Дано:

△ABC:

• AB = 7
• ∠B = 45°
• BC = 9

△KMP:

• KM = 9
• ∠M = 66°
• MP = 7
• ∠K = 69°
• KP = ?

Из рисунка видно, что AB=7, BC=9, ∠B=45°. Для второго треугольника KM=9, MP=7, ∠M=66°, ∠K=69°. Недостаточно данных для определения признака равенства.

№ 3

В данном четырёхугольнике ABCD диагональ AC делит его на два треугольника: △ABC и △ADC. По условию AC=AC (общая сторона), AB=CD=18, ∠BAC = ∠ACD = 25°. Так как ∠BAC = ∠ACD, то AB || CD. Углы ∠BCA и ∠CAD являются накрест лежащими при параллельных прямых AB и CD и секущей AC. Однако, ∠BAC = ∠ACD = 25°, что означает AB || CD. Для равенства треугольников △ABC и △CDA по первому признаку (СУС) нам нужен угол ∠B = ∠D. Для равенства по второму признаку (УСУ) нам нужен угол ∠BCA = ∠DAC. По третьему признаку (ССС) нам нужна сторона AD = BC. Из данных ∠BAC = 25°, ∠CAD = ?, ∠ACB = ?, ∠ACD = 25°, AB = 18, CD = 18, BC = ?, AD = ?. У нас есть ∠BAC = 25°, ∠ACD = 25°. Нам нужно найти BC или AD. Если ∠BAC = ∠ACD, то AB || CD. У нас есть AB=CD, AC=AC. По этому нельзя судить о равенстве. На рисунке дано ∠BAC = 25°, ∠CAD = ?, ∠BCA = ?, ∠ACD = 25°, AB = 18, CD = ?, BC = ?, AD = ?, AC=18, ∠C = 102°. У нас есть ∠BAC = 25°, ∠ACD = 25°. Если ∠BAC = ∠ACD, то AB || CD. Треугольник ABC: AB=18, ∠BAC=25°, AC=18. Треугольник ADC: CD=?, AD=?, AC=18, ∠CAD=?, ∠ACD=25°, ∠ADC=102°. У нас есть ∠BAC = ∠CAD = 25°, AB=18, CD=?, BC=?, AD=?, AC=18, ∠BCA=?, ∠ACD=25°, ∠ADC=102°. У нас есть: AB=18, ∠BAC=25°, AC=18. ∠CAD=?. CD=18, ∠ACD=25°, ∠ADC=102°. Сумма углов в △ADC: ∠CAD + ∠ACD + ∠ADC = 180°. ∠CAD + 25° + 102° = 180°. ∠CAD = 180° - 127° = 53°. Мы имеем △ABC: AB=18, ∠BAC=25°, AC=18. △ADC: CD=18, ∠ACD=25°, ∠ADC=102°, ∠CAD=53°. Треугольники △ABC и △CDA не равны по первому признаку (СУС), так как ∠BAC ≠ ∠ACD. Они не равны по второму признаку (УСУ), так как ∠BCA ≠ ∠CAD. Они не равны по третьему признаку (ССС), так как ∠B ≠ ∠D.

№ 4

Треугольники △ABC и △KMC пересекаются. У нас есть:

△ABC:

• ∠A = 44°
• ∠B = 59°
• AC = 13
• AB = ?

△KMC:

• KC = ?
• KM = 15
• CM = 13
• ∠K = 44°
• ∠M = ?
• ∠KCM = ?

Углы ∠ACB и ∠KCM являются вертикальными, значит ∠ACB = ∠KCM.

В △ABC: ∠ACB = 180° - 44° - 59° = 180° - 103° = 77°. Следовательно, ∠KCM = 77°.

В △KMC: ∠M = 180° - 44° - 77° = 180° - 121° = 59°.

Теперь сравним △ABC и △KMC:

• ∠A = ∠K = 44°
• AC = CM = 13
• ∠ACB = ∠KCM = 77°

Треугольники △ABC и △KMC равны по второму признаку равенства треугольников (УСУ).

Найдём неизвестные:

• △ABC: AB = ?
• △KMC: KC = ?

Из равенства треугольников следует:

• AB = KM = 15
• KC = BC

В △ABC: BC = ?

По теореме синусов для △ABC: ⅓ = ⅔ = ⅕

⅓ = ⅔

⅓ = ⅔

⅓ = ⅔

⅓ = ⅔

⅓ = ⅔

⅓ = ⅔

⅓ = ⅔

Ответ:

№ 1: Недостаточно данных.

№ 2: Недостаточно данных.

№ 3: Недостаточно данных.

№ 4: △ABC = △KMC по УСУ. ∠KCM = 77°. AB = 15. KC = BC.