Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T(t) = T₀ + bt + at², где t — время в минутах, T₀ = 1400 К, a = -10 К/мин², b = 200 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение:

Зависимость температуры от времени задана формулой: \( T(t) = T_0 + bt + at^2 \). По условию, \( T_0 = 1400 \) К, \( b = 200 \) К/мин, \( a = -10 \) К/мин². Прибор может испортиться, если температура превысит \( 1760 \) К. Найдем время, когда температура достигнет \( 1760 \) К.

Подставим известные значения в уравнение:

\[ 1760 = 1400 + 200t + (-10)t^2 \]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 10t^2 - 200t + 1760 - 1400 = 0 \]

\[ 10t^2 - 200t + 360 = 0 \]

Разделим обе части уравнения на 10:

\[ t^2 - 20t + 36 = 0 \]

Найдем дискриминант квадратного уравнения \( D = b^2 - 4ac \), где \( a=1 \), \( b=-20 \), \( c=36 \):

\[ D = (-20)^2 - 4 · 1 · 36 = 400 - 144 = 256 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. Найдем корни по формуле \( t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

\[ t_1 = \frac{-(-20) + \sqrt{256}}{2 · 1} = \frac{20 + 16}{2} = \frac{36}{2} = 18 \]

\[ t_2 = \frac{-(-20) - \sqrt{256}}{2 · 1} = \frac{20 - 16}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Температура достигнет \( 1760 \) К в два момента времени: через \( 2 \) минуты и через \( 18 \) минут. Так как температура растет, а затем начинает падать (коэффициент \( a \) отрицательный), после \( 18 \) минут температура будет ниже \( 1760 \) К. Чтобы прибор не испортился, его нужно отключить до того, как температура превысит \( 1760 \) К. Наибольшее время, когда температура достигнет \( 1760 \) К, составляет \( 18 \) минут. После этого времени температура начнет снижаться.

Ответ: 18 минут.