Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс. руб.) задаётся формулой: q = 100 – 10p. Определите наименьшую цену p (в тыс. руб.), при которой выручка предприятия за месяц r = q ⋅ p составит 210 тыс. руб.

Решение:

Известно, что объём спроса \( q \) зависит от цены \( p \) по формуле: \( q = 100 - 10p \).

Выручка предприятия \( r \) рассчитывается как произведение цены \( p \) на объём спроса \( q \): \( r = q \cdot p \).

Подставим формулу спроса в формулу выручки:

\[ r = (100 - 10p) \cdot p \]\[ r = 100p - 10p^2 \]

Нам нужно найти цену \( p \), при которой выручка \( r \) составит 210 тыс. руб.

\[ 210 = 100p - 10p^2 \]

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 10p^2 - 100p + 210 = 0 \]

Разделим всё уравнение на 10 для упрощения:

\[ p^2 - 10p + 21 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта или теорему Виета.

Используем теорему Виета:

Сумма корней \( p_1 + p_2 = 10 \).

Произведение корней \( p_1 \cdot p_2 = 21 \).

Подбираем числа, которые удовлетворяют этим условиям. Это числа 3 и 7.

Проверим:

• \( 3 + 7 = 10 \)
• \( 3 \cdot 7 = 21 \)

Таким образом, возможные цены, при которых выручка составит 210 тыс. руб., равны 3 тыс. руб. и 7 тыс. руб.

Используем формулу дискриминанта:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1, b = -10, c = 21 \).

\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{16} = 4 \]\[ p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]\[ p_1 = \frac{10 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7 \]\[ p_2 = \frac{10 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \]\[ p = 7 \text{ тыс. руб.} \quad \text{или} \quad p = 3 \text{ тыс. руб.} \]

В задании спрашивается наименьшая цена. Сравниваем полученные значения:

3 тыс. руб. < 7 тыс. руб.

Следовательно, наименьшая цена составляет 3 тыс. руб.

Ответ: 3