Для положительных чисел a и b через F(a, b) обозначим наименьшее из тройки чисел a, 1/b, 3/a + b. Найдите наибольшее значение, которое может принимать число F(a, b). При необходимости ответ округлите до сотых.

Поскольку F(a, b) — наименьшее из чисел, в частности, F(a, b) ≤ a и F(a, b) ≤ 1/b.

Если бы обе величины a и 1/b были больше 1, то a > 1 и b < 1, что невозможно одновременно обеспечить для их минимума: точнее, из a ≤ 1 следует F ≤ 1, а из a > 1 следует, что для F быть больше 1 необходимо 1/b > 1, то есть b < 1. В этом случае третье число 3/a + b может быть больше 1, поэтому этот довод не даёт верхней границы 1. Вместо этого рассмотрим выбор a = 2, b = 1/2: получаем числа 2, 2 и 2, следовательно, F = 2.

Докажем, что значение больше 2 невозможно. Если F > 2, то одновременно a > 2 и 1/b > 2, откуда b < 1/2. Тогда 3/a + b < 3/2 + 1/2 = 2, противоречие условию F > 2.

Ответ: 2.