Для положительных чисел $a$ и $b$ через $F(a,b)$ обозначим наименьшее из тройки чисел $a$, $\frac{1}{b}$, $\frac{3}{a}+b$. Найдите наибольшее значение, которое может принимать число $F(a,b)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Для положительных чисел $a$ и $b$ через $F(a,b)$ обозначим наименьшее из тройки чисел $a$, $\frac{1}{b}$,…$ Фото задания

Для положительных чисел $a$ и $b$ через $F(a,b)$ обозначим наименьшее из тройки чисел $a$, $\frac{1}{b}$, $\frac{3}{a}+b$. Найдите наибольшее значение, которое может принимать число $F(a,b)$.

Accepted Answer

Для любых положительных $a,b$ имеем $F(a,b)\leqslant\min\left(a,\frac{1}{b}\right)$.

Поскольку $a$ и $\frac{1}{b}$ не могут одновременно быть больше $\sqrt{\frac{a}{b}}$, а здесь это не даёт постоянной границы, используем третье число: если $F(a,b)\geqslant x$, то $a\geqslant x$, $b\leqslant\frac{1}{x}$, и $\frac{3}{a}+b\geqslant x$. Непосредственно видно, что при $a=2$, $b=\frac12$ все три числа равны соответственно $2$, $2$, $2$.

Покажем, что значение больше 2 невозможно. Если $F(a,b)>2$, то $a>2$ и $b<\frac12$. Тогда $\frac{3}{a}+b$ не обязано быть меньше 2, поэтому усилим оценку: для достижения минимума выше 2 требуются одновременно $a>2$, $b<\frac12$ и $\frac{3}{a}+b>2$. Последнее условие выполнимо при некоторых таких значениях, например при достаточно малом $a-2$ и $b$ близком к $1/2$. Следовательно, приведённая точка не доказывает максимум; проверим оптимизацию.

При заданном минимуме $x$ необходимо $a\ge x$, $b\le 1/x$ и $3/a+b\\ge x$. Так как $3/a+b\le 3/x+1/x=4/x$, необходимо $x\le2$. При $a=2,b=1/2$ достигается $x=2$. Значит, максимум равен 2.

Ответ: 2