Для положительных действительных чисел a, b и c рассмотрим два набора чисел: (a², b², c²) и (1/(a+b), 1/(a+c), 1/(b+c)). Числа разбивают на пары (числу из первого набора ставится в пару число из второго набора), числа в паре перемножаются, а три полученных числа складываются. При каком разбиении на пары сумма получится наибольшей?

Обозначим числа a, b и c в порядке возрастания через x, y, z: x ≤ y ≤ z. Тогда x² ≤ y² ≤ z², а суммы x + y ≤ x + z ≤ y + z, поэтому соответствующие обратные величины расположены в обратном порядке.

Чтобы сумма попарных произведений была наибольшей, нужно сопоставить числа обоих наборов в одном порядке возрастания. Поэтому пары такие:

• x² и 1/(y + z);
• y² и 1/(x + z);
• z² и 1/(x + y).

Это следует из неравенства о перестановках: произведения упорядоченных по возрастанию чисел дают максимальную сумму.