651. (Для работы в парах.) Докажите, что последовательность (6) является геометрической прогрессией, и найдите сумму пер- вых п её членов, если: a) b = 0,25"; B) bn = 31+ n; 6) b = 3·2n-1; n г) bn = 2n +2.

Ответ: Решение в процессе

Для доказательства, что последовательность является геометрической прогрессией, нужно показать, что отношение любого члена к предыдущему постоянно, то есть \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = const\).

a) \(b_n = 0.2 \cdot 5^n\)

\[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{0.2 \cdot 5^{n+1}}{0.2 \cdot 5^n} = 5\]

Так как отношение постоянно и равно 5, последовательность является геометрической прогрессией.

Для вычисления суммы первых n членов, нужна формула суммы геометрической прогрессии, но сначала нужно найти первый член \(b_1\).

\[b_1 = 0.2 \cdot 5^1 = 1\]

Сумма n первых членов геометрической прогрессии: \[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\]

В нашем случае \(b_1 = 1\) и \(q = 5\), поэтому: \[S_n = \frac{1(5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}\]

б) \(b_n = 3 \cdot 2^{n-1}\)

\[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot 2^{(n+1)-1}}{3 \cdot 2^{n-1}} = \frac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n-1}} = 2\]

Так как отношение постоянно и равно 2, последовательность является геометрической прогрессией.

Найдем первый член \(b_1\): \[b_1 = 3 \cdot 2^{1-1} = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 1 = 3\]

Сумма n первых членов: \[S_n = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = 3(2^n - 1)\]

в) \(b_n = 3^{1+n}\)

\[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3^{1+(n+1)}}{3^{1+n}} = \frac{3^{2+n}}{3^{1+n}} = 3\]

Так как отношение постоянно и равно 3, последовательность является геометрической прогрессией.

Найдем первый член \(b_1\): \[b_1 = 3^{1+1} = 3^2 = 9\]

Сумма n первых членов: \[S_n = \frac{9(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{9(3^n - 1)}{2}\]

г) \(b_n = 2^{n+2}\)

\[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{(n+1)+2}}{2^{n+2}} = \frac{2^{n+3}}{2^{n+2}} = 2\]

Так как отношение постоянно и равно 2, последовательность является геометрической прогрессией.

Найдем первый член \(b_1\): \[b_1 = 2^{1+2} = 2^3 = 8\]

Сумма n первых членов: \[S_n = \frac{8(2^n - 1)}{2 - 1} = 8(2^n - 1)\]

Ответ: Решение в процессе