665. (Для работы в парах.) Докажите, что: а) 7⁸-7⁷ + 7⁶ делится на 43; б) 2¹³ - 2¹⁰ - 2⁹ делится на 13; в) 27⁴ - 9⁵ + 3⁹ делится на 25; г) 16⁴-2¹³-4⁵ делится на 110.

a) Докажем, что 7⁸ - 7⁷ + 7⁶ делится на 43. Представим выражение в виде: 7⁸ - 7⁷ + 7⁶ = 7⁶(7² - 7 + 1) = 7⁶(49 - 7 + 1) = 7⁶ * 43. Так как выражение содержит множитель 43, то 7⁸ - 7⁷ + 7⁶ делится на 43. Ответ: 7⁸ - 7⁷ + 7⁶ делится на 43 б) Докажем, что 2¹³ - 2¹⁰ - 2⁹ делится на 13. Представим выражение в виде: 2¹³ - 2¹⁰ - 2⁹ = 2⁹(2⁴ - 2 - 1) = 2⁹(16 - 2 - 1) = 2⁹ * 13. Так как выражение содержит множитель 13, то 2¹³ - 2¹⁰ - 2⁹ делится на 13. Ответ: 2¹³ - 2¹⁰ - 2⁹ делится на 13 в) Докажем, что 27⁴ - 9⁵ + 3⁹ делится на 25. Представим выражение в виде: 27⁴ - 9⁵ + 3⁹ = (3³)⁴ - (3²)⁵ + 3⁹ = 3¹² - 3¹⁰ + 3⁹ = 3⁹(3³ - 3 + 1) = 3⁹(27 - 9 + 1) = 3⁹ * 19. Так как выражение не содержит множитель 25, то 27⁴ - 9⁵ + 3⁹ не делится на 25. Ответ: 27⁴ - 9⁵ + 3⁹ не делится на 25. г) Докажем, что 16⁴ - 2¹³ - 4⁵ делится на 110. Представим выражение в виде: 16⁴ - 2¹³ - 4⁵ = (2⁴)⁴ - 2¹³ - (2²)⁵ = 2¹⁶ - 2¹³ - 2¹⁰ = 2¹⁰(2⁶ - 2³ - 1) = 2¹⁰(64 - 8 - 1) = 2¹⁰ * 55 = 2¹⁰ * 5 * 11. Так как выражение содержит множители 5 и 11, то 16⁴ - 2¹³ - 4⁵ делится на 5 * 11 = 55. 16⁴ - 2¹³ - 4⁵ = 2¹⁰ * 55 = 1024 * 55 = 56320 Разделим 56320 на 110: 56320 / 110 = 512. Значит, 16⁴ - 2¹³ - 4⁵ делится на 110. Ответ: 16⁴ - 2¹³ - 4⁵ делится на 110