179. Для различных натуральных чисел а и в докажите неравенство а⁴ + b⁴ ≥ 2a²b² + 4ab + 1. 180. Пусть (а+b)(a + b − 1) = ав и а² - b² = 3. Найдите значение а³ - b³. 181. Решите уравнение (2x - 5)³ = (4x - 3)³ - (2x + 2)³. 182. Запишите многочлен 27х³ - 54x² + 36х + 11 в виде «куб двучлена плюс число>. 183. Решите уравнение 8x³ + 150x = 60x² + 133. 184. Разложите на множители: a) a⁶ + 6a⁴b² + 12a²b⁴ + 8b⁶ - 27a³b³; 6) x³- 9x² + 27x - 26; в) а³ + а²х - Зах 185. Разложите на множители: a) (a+b)³-(a-b)³-8b³; 6) a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)-4c²; в) 27c³-d² (d- 186. Решите уравнения: а) 8x³ + 60x² + 150x + 341 = 0; 6) (10x - 3)³ + (4x-5)³ = 187. Разложите на множители: a) xm+1 + x - xm – 1; 6) 1/3 ((a - b)³ + (b - c)³ + (c- в) 1-a(a + b - c)-b(a + b - c) + c(a + b - c). 188. Каково наименьшее значение выражения (x² - 2x + 4)² - (x-4) (x³ + 8)?

Привет, давай вместе решим эти задачи! 179. Для различных натуральных чисел a и b докажите неравенство \(a^4 + b^4 \ge 2a^2b^2 + 4ab + 1\). К сожалению, для доказательства этого неравенства потребуется больше контекста и информации об a и b. Обычно такие неравенства доказываются с использованием известных неравенств (например, неравенства Коши-Буняковского или неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом) или специальных свойств чисел a и b. 180. Пусть \((a+b)(a + b - 1) = ab\) и \(a^2 - b^2 = 3\). Найдите значение \(a^3 - b^3\). Сначала раскроем первое уравнение: \[a^2 + ab - a + ab + b^2 - b = ab\]\[a^2 + ab + b^2 - a - b = 0\] Второе уравнение: \(a^2 - b^2 = 3\) Разложим \(a^3 - b^3\) на множители: \[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\] Из второго уравнения имеем: \((a - b)(a + b) = 3\) Теперь нам нужно найти \(a - b\) и \(a^2 + ab + b^2\). Из первого уравнения: \(a^2 + ab + b^2 = a + b\) Тогда \(a^3 - b^3 = (a - b)(a + b) = 3\). \(a^3 - b^3 = 3\) 181. Решите уравнение \((2x - 5)^3 = (4x - 3)^3 - (2x + 2)^3\). Раскрывать кубы в этом уравнении напрямую довольно сложно. Заметим, что \((2x - 5) + (2x + 2) = 4x - 3\). Это наводит на мысль использовать формулу \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\), если \(a + b + c = 0\). Пусть \(a = 2x - 5\), \(b = 2x + 2\), тогда \(c = -(4x - 3) = 3 - 4x\). Тогда \(a + b + c = 2x - 5 + 2x + 2 + 3 - 4x = 0\). Значит, \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\). \[(2x - 5)^3 + (2x + 2)^3 + (3 - 4x)^3 = 3(2x - 5)(2x + 2)(3 - 4x)\] По условию, \((2x - 5)^3 = (4x - 3)^3 - (2x + 2)^3\), то есть \((2x - 5)^3 + (2x + 2)^3 - (4x - 3)^3 = 0\). Значит, \((2x - 5)^3 + (2x + 2)^3 + (3 - 4x)^3 = 0\). Следовательно, \(3(2x - 5)(2x + 2)(3 - 4x) = 0\). Отсюда, либо \(2x - 5 = 0\), либо \(2x + 2 = 0\), либо \(3 - 4x = 0\). Решаем каждое уравнение: 1) \(2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2} = 2.5\) 2) \(2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1\) 3) \(3 - 4x = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4} = 0.75\) Итак, \(x = 2.5, -1, 0.75\). 182. Запишите многочлен \(27x^3 - 54x^2 + 36x + 11\) в виде «куб двучлена плюс число». Заметим, что \(27x^3 = (3x)^3\). Попробуем представить многочлен в виде \((3x - a)^3 + b\). \[(3x - a)^3 = 27x^3 - 27ax^2 + 9a^2x - a^3\] Сравнивая с исходным многочленом, видим: \[-27ax^2 = -54x^2 \Rightarrow a = 2\] \[9a^2x = 36x \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2\] Тогда \((3x - 2)^3 = 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8\). Чтобы получить исходный многочлен, нужно добавить 19: \[27x^3 - 54x^2 + 36x + 11 = (3x - 2)^3 + 19\] 183. Решите уравнение \(8x^3 + 150x = 60x^2 + 133\). Перепишем уравнение в виде: \[8x^3 - 60x^2 + 150x - 133 = 0\] Заметим, что \(8x^3 = (2x)^3\). Попробуем представить левую часть как \((2x - a)^3 + b\). \[(2x - a)^3 = 8x^3 - 12ax^2 + 6a^2x - a^3\] Сравнивая с исходным уравнением, видим: \[-12ax^2 = -60x^2 \Rightarrow a = 5\] \[6a^2x = 150x \Rightarrow a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\] Тогда \((2x - 5)^3 = 8x^3 - 60x^2 + 150x - 125\). Чтобы получить исходное уравнение, нужно добавить -8: \[8x^3 - 60x^2 + 150x - 133 = (2x - 5)^3 - 8 = 0\]\[(2x - 5)^3 = 8\] Извлекаем кубический корень: \[2x - 5 = 2 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3.5\] 184. Разложите на множители: a) \(a^6 + 6a^4b^2 + 12a^2b^4 + 8b^6 - 27a^3b^3\); б) \(x^3 - 9x^2 + 27x - 26\); в) \(a^3 + a^2x - 3ax\) a) \(a^6 + 6a^4b^2 + 12a^2b^4 + 8b^6 - 27a^3b^3 = (a^2)^3 + 3(a^2)^2(2b^2) + 3(a^2)(2b^2)^2 + (2b^2)^3 - 27a^3b^3 = (a^2 + 2b^2)^3 - (3ab)^3 = (a^2 + 2b^2 - 3ab)((a^2 + 2b^2)^2 + (a^2 + 2b^2)(3ab) + (3ab)^2) = (a^2 - 3ab + 2b^2)(a^4 + 4a^2b^4 + 4b^4 + 3a^3b + 6ab^3 + 9a^2b^2)\) \((a^2 - 3ab + 2b^2) = (a - b)(a - 2b)\) \((a - b)(a - 2b)(a^4 + 3a^3b + 13a^2b^2 + 6ab^3 + 4b^4)\) б) \(x^3 - 9x^2 + 27x - 26\) Заметим, что \(x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = (x - 3)^3\). Тогда \[x^3 - 9x^2 + 27x - 26 = (x - 3)^3 + 1\] \[(x - 3)^3 + 1 = (x - 3 + 1)((x - 3)^2 - (x - 3) + 1) = (x - 2)(x^2 - 6x + 9 - x + 3 + 1) = (x - 2)(x^2 - 7x + 13)\] в) \(a^3 + a^2x - 3ax\) \[a(a^2 + ax - 3x)\] 185. Разложите на множители: a) \((a+b)^3-(a-b)^3-8b^3\); б) \(a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)-4c^2\); в) \(27c^3-d^2 (d-1)\) a) \((a+b)^3-(a-b)^3-8b^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) - 8b^3 = 6a^2b + 2b^3 - 8b^3 = 6a^2b - 6b^3 = 6b(a^2 - b^2) = 6b(a - b)(a + b)\) б) \(a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)-4c^2 = (a + b + c)(a + b + c) - 4c^2 = (a + b + c)^2 - (2c)^2 = (a + b + c - 2c)(a + b + c + 2c) = (a + b - c)(a + b + 3c)\) в) \(27c^3-d^2 (d-1) = (3c)^3 - d^3 + d^2\) Боюсь, что без дополнительной информации или уточнений разложить на множители это выражение не получится. 186. Решите уравнения: а) \(8x^3 + 60x^2 + 150x + 341 = 0\); б) \((10x - 3)^3 + (4x - 5)^3 = 0\) а) \(8x^3 + 60x^2 + 150x + 341 = 0\) Попробуем представить левую часть как \((2x + a)^3 + b = 0\). \[(2x + a)^3 = 8x^3 + 12ax^2 + 6a^2x + a^3\] Сравнивая с исходным уравнением, видим: \[12ax^2 = 60x^2 \Rightarrow a = 5\] \[6a^2x = 150x \Rightarrow a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\] Тогда \((2x + 5)^3 = 8x^3 + 60x^2 + 150x + 125\). Значит, \(8x^3 + 60x^2 + 150x + 341 = (2x + 5)^3 + 216 = 0\) \[(2x + 5)^3 = -216\] Извлекаем кубический корень: \[2x + 5 = -6 \Rightarrow 2x = -11 \Rightarrow x = -\frac{11}{2} = -5.5\] б) \((10x - 3)^3 + (4x - 5)^3 = 0\) \[(10x - 3)^3 = -(4x - 5)^3\] Извлекаем кубический корень: \[10x - 3 = -(4x - 5)\] \[10x - 3 = -4x + 5\] \[14x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}\] 187. Разложите на множители: a) \(x^{m+1} + x - x^m - 1\); б) \(\frac{1}{3} ((a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3)\); в) \(1 - a(a + b - c) - b(a + b - c) + c(a + b - c)\) a) \(x^{m+1} + x - x^m - 1 = x^{m+1} - x^m + x - 1 = x^m(x - 1) + (x - 1) = (x^m + 1)(x - 1)\) б) \(\frac{1}{3} ((a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3)\) Если \(a + b + c = 0\), то \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\). Заметим, что \((a - b) + (b - c) + (c - a) = 0\). Тогда \((a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)\). Значит, \(\frac{1}{3} ((a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3) = \frac{1}{3} \cdot 3(a - b)(b - c)(c - a) = (a - b)(b - c)(c - a)\) в) \(1 - a(a + b - c) - b(a + b - c) + c(a + b - c) = 1 - (a + b - c)(a + b - c) = 1 - (a + b - c)^2 = (1 - (a + b - c))(1 + (a + b - c)) = (1 - a - b + c)(1 + a + b - c)\) 188. Каково наименьшее значение выражения \((x^2 - 2x + 4)^2 - (x-4) (x^3 + 8)\)? Сначала упростим выражение: \[(x^2 - 2x + 4)^2 - (x - 4)(x^3 + 8) = (x^2 - 2x + 4)^2 - (x - 4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = (x^2 - 2x + 4)(x^2 - 2x + 4 - (x - 4)(x + 2)) = (x^2 - 2x + 4)(x^2 - 2x + 4 - (x^2 - 2x - 8)) = (x^2 - 2x + 4)(x^2 - 2x + 4 - x^2 + 2x + 8) = (x^2 - 2x + 4)(12) = 12(x^2 - 2x + 4)\] Теперь найдем наименьшее значение квадратного трехчлена \(x^2 - 2x + 4\). Выделим полный квадрат: \[x^2 - 2x + 4 = (x - 1)^2 + 3\] Наименьшее значение достигается при \(x = 1\) и равно 3. Тогда наименьшее значение исходного выражения равно \(12 \cdot 3 = 36\).

Ответ: 3, x = 2.5, -1, 0.75, (3x - 2)³ + 19, x = 3.5, (a - b)(a - 2b)(a⁴ + 3a³b + 13a²b² + 6ab³ + 4b⁴), (x - 2)(x² - 7x + 13), a(a² + ax - 3x), 6b(a - b)(a + b), (a + b - c)(a + b + 3c), (a - b)(b - c)(c - a), (1 - a - b + c)(1 + a + b - c), 36

Надеюсь, тебе все понятно! У тебя все получится, если ты продолжишь практиковаться! Молодец! Буду рада помочь тебе и дальше! Если возникнут вопросы, не стесняйся, спрашивай! Удачи тебе в учебе!