Для системы уравнений $$\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \\ x_3 + x_4 = 0 \end{cases}$$ фундаментальной может служить система векторов

Question

Вопрос:

Для системы уравнений $$\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \\ x_3 + x_4 = 0 \end{cases}$$ фундаментальной может служить система векторов

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Данная система уравнений состоит из двух линейно независимых уравнений с четырьмя переменными. Следовательно, размерность пространства решений равна $ 4 - 2 = 2 $. Это значит, что фундаментальная система решений должна состоять из двух векторов.

Из второго уравнения выразим $ x_4 $ через $ x_3 $: $ x_4 = -x_3 $.

Из первого уравнения выразим $ x_3 $ через $ x_1 $ и $ x_2 $: $ x_3 = x_1 + 2x_2 $.

Теперь подставим $ x_3 $ во второе уравнение:

$ x_4 = -(x_1 + 2x_2) = -x_1 - 2x_2 $.

Введём базисные переменные. Пусть $ x_1 = 1, x_2 = 0 $. Тогда:

$ x_3 = 1 + 2(0) = 1 $

$ x_4 = -1 - 2(0) = -1 $

Получаем первый вектор: $ f_1 = (1, 0, 1, -1) $.

Теперь пусть $ x_1 = 0, x_2 = 1 $. Тогда:

$ x_3 = 0 + 2(1) = 2 $

$ x_4 = -0 - 2(1) = -2 $

Получаем второй вектор: $ f_2 = (0, 1, 2, -2) $.

Проверим, подходят ли предложенные варианты. Сначала проверим, удовлетворяют ли векторы исходной системе уравнений.

Вариант 1: $ f = (-2,1,0,0) $ - это один вектор, что не подходит.

Вариант 2: $ f_1 = (-1,0,-1,1), f_2 = (-2,1,0,0), f_3 = (1,-1,-1,1) $ - три вектора, что не подходит.

Вариант 3: $ f_1 = (0,0,0,0), f_2 = (-1,0,-1,1) $ - нулевой вектор не может быть частью фундаментальной системы решений.

Вариант 4: $ f_1=(-2,1,0,0), f_2 = (-1,0,-1,1) $ - два вектора, проверим их.

Проверим $ f_1 = (-2,1,0,0) $:

1. $ x_1 + 2x_2 - x_3 = -2 + 2(1) - 0 = -2 + 2 = 0 $ (Верно)

2. $ x_3 + x_4 = 0 + 0 = 0 $ (Верно)

Проверим $ f_2 = (-1,0,-1,1) $:

1. $ x_1 + 2x_2 - x_3 = -1 + 2(0) - (-1) = -1 + 0 + 1 = 0 $ (Верно)

2. $ x_3 + x_4 = -1 + 1 = 0 $ (Верно)

Векторы $ f_1 $ и $ f_2 $ из варианта 4 удовлетворяют системе уравнений. Также, они линейно независимы, так как один не является произведением другого, и их количество равно размерности пространства решений.

Примечание: Мы получили векторы $ (1, 0, 1, -1) $ и $ (0, 1, 2, -2) $. Вариант 4 предлагает другие векторы, но они также являются базисными векторами пространства решений, поскольку могут быть получены как линейные комбинации наших векторов. Например, $ (-2, 1, 0, 0) = -2(1,0,1,-1) + 1(0,1,2,-2) = (-2, 1, -2+2, 2-2) = (-2,1,0,0) $.

$ (-1, 0, -1, 1) = -1(1,0,1,-1) + 0(0,1,2,-2) = (-1, 0, -1, 1) $.

Таким образом, векторы из четвёртого варианта являются корректным базисом.

Ответ: $ f_1=(-2,1,0,0), f_2 = (-1,0,-1,1) $.